Distances et espaces métriques

Définition

Définition. Une distance sur un ensemble $E$ est une application $d: E \times E \to \mathbb{R}^+$ vérifiant :

1. $d(x, y) \geq 0$ (positivite)

2. $d(x, y) = 0 \iff x = y$ (séparation)

3. $d(x, y) = d(y, x)$ (symétrie)

4. $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ (inégalité triangulaire)

Le couple $(E, d)$ est un espace métrique.

Exemples fondamentaux

Sur $\mathbb{R}^n$

Les trois distances classiques pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$ :

• $d_1(x, y) = \sum |x_i - y_i|$ (distance "Manhattan")
• $d_2(x, y) = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$ (distance euclidienne)
• $d_\infty(x, y) = \max |x_i - y_i|$ (distance du sup)

Sur $\mathcal{C}^0([a,b])$

Distance discrète

$d(x, y) = 0$ si $x = y$, $d(x, y) = 1$ sinon.

Boules et topologie

Définition.

- Boule ouverte : $B(a, r) = \{x \mid d(x,a) < r\}$

- Boule fermée : $\bar{B}(a, r) = \{x \mid d(x,a) \leq r\}$

- Sphère : $S(a, r) = \{x \mid d(x,a) = r\}$

Ouverts et fermés

Définition. $U \subset E$ est ouvert si pour tout $x \in U$, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset U$.

Définition. $F \subset E$ est fermé si son complémentaire est ouvert, ou de facon équivalente si $F$ contient toutes ses valeurs d'adhérence.