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Avant de lire
Une distance d sur un ensemble E doit vérifier les propriétés suivantes SAUF :
Avant de lire
La boule ouverte B(a,r) dans un espace métrique (E,d) est :
Définition
Définition. Une distance sur un ensemble E est une application d:E×E→R+ vérifiant :
1. d(x,y)≥0 (positivite)
2. d(x,y)=0⟺x=y (séparation)
3. d(x,y)=d(y,x) (symétrie)
4. d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) (inégalité triangulaire)
Le couple (E,d) est un espace métrique.
Exemples fondamentaux
Sur Rn
Les trois distances classiques pour x=(x1,…,xn) :
d1(x,y)=∑∣xi−yi∣ (distance "Manhattan")
d2(x,y)=∑(xi−yi)2 (distance euclidienne)
d∞(x,y)=max∣xi−yi∣ (distance du sup)
Sur C0([a,b])
d∞(f,g)=t∈[a,b]sup∣f(t)−g(t)∣
Distance discrète
d(x,y)=0 si x=y, d(x,y)=1 sinon.
Boules et topologie
Définition.
- Boule ouverte : B(a,r)={x∣d(x,a)<r}
- Boule fermée : Bˉ(a,r)={x∣d(x,a)≤r}
- Sphère : S(a,r)={x∣d(x,a)=r}
Ouverts et fermés
Définition.U⊂E est ouvert si pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U.
Définition.F⊂E est fermé si son complémentaire est ouvert, ou de facon équivalente si F contient toutes ses valeurs d'adhérence.
Après la lecture
Une distance d sur un ensemble E doit vérifier les propriétés suivantes SAUF :
Une distance vérifie : positivité, séparation (d(x,y)=0⟺x=y), symétrie (d(x,y)=d(y,x)) et l'inégalité triangulaire. L'inégalité multiplicative n'est pas requise.
Après la lecture
La boule ouverte B(a,r) dans un espace métrique (E,d) est :
La boule ouverte est B(a,r)={x∣d(x,a)<r} (inégalité stricte). La boule fermée est Bˉ(a,r)={x∣d(x,a)≤r}. La sphère est S(a,r)={x∣d(x,a)=r}.
Illustrations
Axiomes : d ≥ 0, d(x,y) = 0 ⟺ x = y, symétrie, inégalité triangulaireLa boule ouverte est le voisinage fondamental