Classiques incontournables

Les exercices classiques à maîtriser absolument pour les concours

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180 classique(s) trouvé(s)

Suites numériquesMoyenmoyennes de Cesàroconvergenceepsilon-N

(1 + 1/n)^n

et le nombre

e

Suites numériquesDifficilenombre esuites adjacentesAM-GMbinôme de Newton

Suite récurrente

u_{n+1} = (u_n + a/u_n)/2

(méthode de Héron)

Suites numériquesMoyensuite récurrentepoint fixeconvergence quadratiqueméthode de Héron

Lemme de Cesàro-Stolz

Suites numériquesDifficileCesàro-Stolzsous-suitessommation

Suites adjacentes et approximation de

\pi

Suites numériquesDifficilesuites adjacentesmoyenne harmoniquemoyenne géométriquepi

Suite

u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n

(constante d'Euler)

Suites numériquesMoyenconstante d'Eulersérie harmoniquecomparaison série-intégrale

Convergence des séries de Riemann

\sum 1/n^\alpha

Séries numériquesMoyenséries de Riemanncomparaison série-intégralecondensation de Cauchy

Irrationalité de

e

via

\sum 1/n!

Séries numériquesDifficileirrationaliténombre efactorielles

Somme de la série harmonique alternée

\sum (-1)^{n+1}/n = \ln 2

Séries numériquesMoyensérie alternéelogarithmeAbel radial

Problème de Bâle :

\sum 1/n^2 = \pi^2/6

Séries numériquesDifficileproblème de Bâleséries de Fourierzeta(2)

Formule de Stirling (asymptotique de

n!

)

Séries numériquesTres difficileStirlingasymptotiqueWallisfactorielle

Critère de d'Alembert et rapport

u_{n+1}/u_n

Séries numériquesMoyend'Alembertcritère de convergenceséries positives

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Continuité et limitesMoyenTVIdichotomiezéro d'une fonction

Théorème de Heine : continue sur un segment implique uniformément continue

Continuité et limitesDifficileHeinecontinuité uniformeBolzano-Weierstrasscompacité

Théorème du point fixe pour les fonctions contractantes sur

[a,b]

Continuité et limitesMoyenpoint fixecontractionTVIBanach

Image continue d'un compact est compact

Continuité et limitesMoyencompactbornes atteintesBolzano-Weierstrassimage continue

Fonction continue périodique : uniformément continue

Continuité et limitesMoyencontinuité uniformepériodicitéHeine

Théorème de Rolle et applications

DérivationMoyenRolleextremumpolynômeprimitive

Inégalité des accroissements finis (IAF)

DérivationMoyenaccroissements finisTAFdérivée bornée

Formule de Taylor avec reste intégral

DérivationDifficileTaylorreste intégralIPPrécurrence

Formule de Leibniz pour la dérivée

n

-ième d'un produit

DérivationMoyenLeibnizdérivée n-ièmerécurrencePascal

Classe

\mathcal{C}^1

et prolongement de la dérivée

DérivationMoyenprolongementdérivabilitéTAFclasse C1

Intégrales de Wallis

IntégrationDifficileWallisIPPsuite récurrenteasymptotique

Intégrale de Gauss

\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}/2

IntégrationTres difficileGaussWallisconvergence monotoneintégrale célèbre

Lemme de Riemann-Lebesgue

IntégrationDifficileRiemann-Lebesgueoscillationapproximation

Formule de changement de variable et intégrales trigonométriques

IntégrationDifficilechangement de variablesymétrieintégrale trigonométrique

Inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

IntégrationMoyenCauchy-Schwarztrinômeproduit scalaireinégalité

Sommes de Riemann et calcul de limites

IntégrationMoyensommes de RiemannintégralelimiteStirling

Convergence uniforme de

f_n(x) = x^n

sur

[0,1]

Suites et séries de fonctionsMoyenconvergence uniformeconvergence simplecontre-exemple

Théorème d'interversion limite-intégrale (convergence uniforme)

Suites et séries de fonctionsMoyeninterversionconvergence uniformeintégralelimite

Théorème de convergence normale des séries de fonctions

Suites et séries de fonctionsMoyenconvergence normaleconvergence uniformeséries de fonctions

Approximation uniforme par les polynômes de Bernstein

Suites et séries de fonctionsTres difficileBernsteinWeierstrassapproximation polynomialeconvergence uniforme

Théorème de dérivation terme à terme des séries de fonctions

Suites et séries de fonctionsDifficiledérivation terme à termeconvergence uniformeséries de fonctions

Rayon de convergence : règle de d'Alembert et Hadamard

Séries entièresMoyenrayon de convergenceHadamardd'Alembertséries entières

Développement en série entière de

\exp

\sin

\cos

Séries entièresMoyenDSEexponentielletrigonométrieTaylor

Produit de Cauchy :

\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)

Séries entièresMoyenproduit de Cauchyexponentiellebinôme de Newton

DSE de

(1+x)^\alpha

(série binomiale)

Séries entièresDifficilesérie binomialeDSEéquation différentiellecoefficients binomiaux

DSE de

\arctan

et calcul de

\pi

Séries entièresDifficilearctanDSEMachincalcul de piAbel radial

Résolution de

y' = y

par les séries entières

Séries entièresMoyenéquation différentielleDSEexponentiellerécurrence

Série de Fourier de

x^2

et calcul de

\zeta(2)

Séries de FourierDifficileFourierParsevalzeta(2)zeta(4)

Série de Fourier de

|x|

\sum 1/(2n+1)^2

Séries de FourierMoyenFouriervaleur absoluesomme des carrés impairs

Formule de Parseval-Bessel

Séries de FourierDifficileParsevalBesselFouriernorme L2

Noyau de Dirichlet et convergence ponctuelle

Séries de FourierDifficileDirichletnoyauFourierconvergence ponctuelle

Série de Fourier de

x

sur

[-\pi, \pi]

\sum (-1)^{n+1}/n

Séries de FourierMoyenFourierfonction impaireLeibnizpi

Fonction Gamma d'Euler

\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\,dt

Intégration sur un intervalle quelconqueDifficileGammafactorielleIPPGauss

Intégrales de Fresnel

Intégration sur un intervalle quelconqueTres difficileFresnelintégrales oscillantesGauss complexe

Intégrale de Dirichlet

\int_0^{+\infty} \sin(t)/t\,dt = \pi/2

Intégration sur un intervalle quelconqueTres difficileDirichletintégrale à paramètreLaplacedérivation sous l'intégrale

Fonction Bêta et lien avec Gamma

Intégration sur un intervalle quelconqueDifficileBêtaGammachangement de variablesFubini

Critère d'Abel pour les intégrales impropres

Intégration sur un intervalle quelconqueDifficileAbelintégrales impropresIPPcritère de convergence

Différentielle de

\det

I_n

Calcul différentielDifficiledéterminantdifférentielletracecalcul matriciel

Multiplicateurs de Lagrange : extrema liés

Calcul différentielMoyenLagrangeextrema liéscontrainteCauchy-Schwarz

Différentielle de l'inversion

A \mapsto A^{-1}

Calcul différentielDifficileinversiondifférentielleNeumannGL_n

Théorème des fonctions implicites (cas

\mathbb{R}^2

)

Calcul différentielDifficilefonctions implicitesdérivationrègle de la chaîne

Extrema locaux d'une fonction de deux variables

Calcul différentielMoyenhessienneextremapoint sellepoint critique

Résolution de

y'' + \omega^2 y = 0

Équations différentiellesMoyenoscillateur harmoniqueéquation caractéristiqueEDL2

Wronskien et indépendance linéaire de solutions

Équations différentiellesDifficileWronskienAbel-Liouvillesystème fondamentalEDL2

Méthode de variation des constantes

Équations différentiellesMoyenvariation des constantesWronskienEDL2second membre

Lemme de Grönwall

Équations différentiellesDifficileGrönwallinégalité intégraleCauchy-Lipschitzunicité

Exponentielle de matrice et systèmes différentiels

Équations différentiellesDifficileexponentielle de matricesystème différentielrotation

Équation d'Euler

t^2 y'' + \alpha ty' + \beta y = 0

Équations différentiellesMoyenEulerchangement de variableEDL2équation d'Euler

Théorème de Lagrange pour les groupes finis

Structures algébriquesMoyenLagrangegroupes finisclasses à gaucheindice

Sous-groupes de

(\mathbb{Z}, +)

et théorème de Bézout

Structures algébriquesMoyensous-groupes de ZBézoutdivision euclidiennepgcd

Morphismes de groupes : image et noyau

Structures algébriquesMoyenmorphismenoyauimageinjectivité

Petit théorème de Fermat

Structures algébriquesMoyenFermatarithmétique modulaireLagrangegroupe

Théorème chinois des restes

Structures algébriquesDifficilethéorème chinoisisomorphismeBézoutanneaux

Dimension de

\mathcal{S}_n(\mathbb{R})

\mathcal{A}_n(\mathbb{R})

Espaces vectorielsMoyensomme directedimensionmatrices symétriquesantisymétriques

Théorème de la base incomplète

Espaces vectorielsMoyenbase incomplètefamille libredimension finie

Formule de Grassmann (dimension de la somme)

Espaces vectorielsMoyenGrassmanndimensionsomme de sous-espacesintersection

Les polynômes

1, X, X^2, \ldots, X^n

forment une base de

\mathbb{R}_n[X]

Espaces vectorielsMoyenbasedimensionLagrangeinterpolation

Hyperplan et forme linéaire

Espaces vectorielsMoyenhyperplanforme linéairenoyaudual

Théorème du rang

Applications linéairesMoyenthéorème du rangnoyauimagedimension

Projecteurs : caractérisation et propriétés

Applications linéairesMoyenprojecteursomme directeidempotentdécomposition

Rang d'une matrice de Vandermonde

Applications linéairesDifficileVandermondedéterminantrécurrencerang

Caractérisation de l'inversibilité par le noyau

Applications linéairesMoyeninversibilitéinjectifsurjectifdimension finie

Lemme des noyaux itérés

Applications linéairesDifficilenoyaux itérésstationnaritéFittingnilpotent

Trace, déterminant et valeurs propres

Applications linéairesMoyentracedéterminantvaleurs proprespolynôme caractéristique

Formule de changement de base

MatricesMoyenchangement de basesimilitudematrice de passage

Rang d'une matrice et opérations élémentaires

MatricesMoyenrangopérations élémentairespivot de Gausséquivalence

Inégalité du rang :

\text{rg}(AB) \leq \min(\text{rg}(A), \text{rg}(B))

MatricesDifficilerangSylvesterinégalitéproduit matriciel

Comatrice et formule

A \cdot \text{Com}(A)^T = \det(A) I_n

MatricesDifficilecomatricecofacteurinversedéterminant

Déterminant par blocs

MatricesDifficiledéterminant par blocstriangulaireSchur

Théorème de Cayley-Hamilton

Réduction des endomorphismesTres difficileCayley-Hamiltonpolynôme caractéristiquecomatriceannulateur

Diagonalisation : critères et méthode

Réduction des endomorphismesDifficilediagonalisationvaleurs proprespolynôme minimalsous-espaces propres

Trigonalisation et théorème de Schur

Réduction des endomorphismesDifficiletrigonalisationSchurrécurrencealgébriquement clos

Lemme des noyaux

Réduction des endomorphismesDifficilelemme des noyauxBézoutdécompositionpolynôme

Diagonalisation simultanée de matrices qui commutent

Réduction des endomorphismesDifficilediagonalisation simultanéecommutationsous-espaces propres

Décomposition de Dunford

Réduction des endomorphismesTres difficileDunforddiagonalisablenilpotentdécomposition spectrale

Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Espaces euclidiens et préhilbertiensMoyenGram-Schmidtorthonormalisationprojectionbase orthonormée

Théorème spectral : les matrices symétriques réelles sont diagonalisables en base orthonormée

Espaces euclidiens et préhilbertiensDifficilethéorème spectralmatrice symétriqueBONdiagonalisation orthogonale

Projection orthogonale et distance à un sous-espace

Espaces euclidiens et préhilbertiensMoyenprojection orthogonaledistancesupplémentaire orthogonalPythagore

Matrices orthogonales et isométries

Espaces euclidiens et préhilbertiensMoyenmatrice orthogonaleisométrieBONproduit scalaire

Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité

Espaces euclidiens et préhilbertiensMoyenCauchy-Schwarzproduit scalairenormetrinôme

Endomorphismes auto-adjoints et valeurs propres

Espaces euclidiens et préhilbertiensDifficileauto-adjointvaleurs propres réellespositifthéorème spectral

Nombre de surjections de

\{1,\ldots,n\}

dans

\{1,\ldots,p\}

DénombrementDifficilesurjectionscribleinclusion-exclusiondénombrement

Formule du crible de Poincaré

DénombrementDifficilecriblePoincaréinclusion-exclusionrécurrence

Nombre de dérangements

DénombrementDifficiledérangementscriblefactorielleexponentielle

Formule du binôme de Vandermonde

DénombrementMoyenVandermondebinômecombinatoireséries génératrices

Dénombrement des parties d'un ensemble :

|\mathcal{P}(E)| = 2^n

DénombrementMoyenpartiesfonction indicatricebinôme de Newton

Nombre de chemins dans une grille et catalan

DénombrementDifficilecheminsCatalanréflexiongrille

Formule des probabilités totales et formule de Bayes

Probabilités discrètesMoyenBayesprobabilités totalesconditionnementsystème complet

Problème des anniversaires

Probabilités discrètesMoyenanniversairesprobabilitéparadoxedénombrement

Ruine du joueur

Probabilités discrètesDifficileruine du joueurmarche aléatoirerécurrenceprobabilité d'absorption

Indépendance mutuelle vs deux à deux

Probabilités discrètesMoyenindépendanceBernsteincontre-exemplemutuelle

Nombre moyen de points fixes d'une permutation aléatoire

Probabilités discrètesDifficilepermutationpoints fixesespérancePoissonconvergence en loi

Formule de Poincaré pour

P(\bigcup A_i)

Probabilités discrètesMoyenPoincarécribleprobabilitécartes

Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

Variables aléatoires discrètesMoyenMarkovTchebychevinégalitéconcentration

Espérance et variance des lois classiques

Variables aléatoires discrètesMoyenespérancevariancelois classiquesBernoulliPoisson

Fonction génératrice et somme de v.a. indépendantes

Variables aléatoires discrètesDifficilefonction génératricePoissonindépendanceconvolution

Loi du max et du min de v.a. indépendantes

Variables aléatoires discrètesMoyenmaximumminimumstatistiques d'ordreexponentielle

Approximation de la binomiale par la loi de Poisson

Variables aléatoires discrètesDifficilePoissonbinomialeapproximationévénements rares

Formule de transfert et calcul de

E(g(X))

Variables aléatoires discrètesMoyentransfertespérancequeue de distributionsommation

Covariance, corrélation et indépendance

Couples et vecteurs aléatoiresMoyencovariancecorrélationCauchy-Schwarzindépendance

Variance d'une somme et formule de König-Huygens

Couples et vecteurs aléatoiresMoyenvariancesommecovariancebilinéarité

Loi marginale et loi conditionnelle

Couples et vecteurs aléatoiresMoyenloi marginaleconditionnelleespérance totaletour

Loi d'un couple et changement de variable

Couples et vecteurs aléatoiresDifficilePoissonloi conditionnellebinomialecouple

Formule de la variance totale

Couples et vecteurs aléatoiresDifficilevariance totaleEVEespérance conditionnelledécomposition

Loi faible des grands nombres

Convergences et théorèmes limitesMoyenloi des grands nombresconvergence en probabilitéTchebychev

Lemme de Borel-Cantelli

Convergences et théorèmes limitesTres difficileBorel-Cantellilimsupindépendancesérie convergente

Convergence en loi vs en probabilité

Convergences et théorèmes limitesDifficileconvergence en loiconvergence en probabilitécontre-exemple

Théorème central limite (TCL)

Convergences et théorèmes limitesTres difficileTCLthéorème central limitegaussiennefonction caractéristique

Hiérarchie des convergences

Convergences et théorèmes limitesDifficileconvergencehiérarchiecontre-exemplesp.s.L^p

Barycentre : propriétés fondamentales

Géométrie affineMoyenbarycentreréductioncentre de gravité

Théorème de Ménélaüs

Géométrie affineDifficileMénélaüsalignementrapports signéstriangle

Théorème de Ceva

Géométrie affineDifficileCevaconcurrencebarycentretriangle

Applications affines : caractérisation et propriétés

Géométrie affineDifficileapplication affinebarycentrelinéarité

Convexité et enveloppe convexe

Géométrie affineMoyenconvexitécombinaison convexeenveloppe convexerécurrence

Droite d'Euler : alignement de

G

H

O

Géométrie affineDifficileEulerorthocentrecentre de gravitécercle circonscrit

Classification des isométries du plan

Géométrie euclidienneDifficileisométriesclassificationrotationréflexionsymétrie glissée

Matrices de rotation en dimension 3

Géométrie euclidienneDifficilerotation 3DSO(3)axe de rotationangle

Similitudes du plan : classification

Géométrie euclidienneDifficilesimilitudepoint fixehomothétierotationcomplexes

Cercle d'Apollonius

Géométrie euclidienneDifficileApolloniuscerclerapport de distancesdivision harmonique

Formule d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Géométrie euclidienneMoyenAl-KashicosinusHéronairetriangle

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Géométrie euclidienneMoyenpuissance d'un pointcercleVièteproduit scalaire

Définition bifocale de l'ellipse

ConiquesMoyenellipsebifocalefoyersexcentricité

Propriété de réflexion sur l'ellipse

ConiquesDifficileréflexionellipsetangentefoyersoptique

Pôle et polaire d'une conique — théorème de La Hire

ConiquesMoyenpôlepolaireLa Hirebilinéaireconique

Équation polaire des coniques (foyer-directrice)

ConiquesMoyenpolairefoyer-directriceexcentricitéconique

Théorème de Poncelet (cas du triangle inscrit dans une ellipse)

ConiquesTres difficilePonceletfermetureconiquesprojectif

Formules de Frenet dans le plan

Courbes paramétréesDifficileFrenetcourbureabscisse curvilignecercle osculateur

Classification des points singuliers

Courbes paramétréesDifficilepoint singulierrebroussementDLtangente

Longueur d'arc et courbure (paramètre quelconque)

Courbes paramétréesMoyenlongueur d'arccourbureparamétrageFrenet

Cycloïde : brachistochrone et tautochrone

Courbes paramétréesTres difficilecycloïdebrachistochronetautochronecalcul des variations

Développée d'une courbe et enveloppe des normales

Courbes paramétréesDifficiledéveloppéeinvolutecentre de courbureenveloppenormales

Plan tangent et vecteur normal (surface implicite)

Surfaces et quadriquesMoyenplan tangentgradientsurface implicitenormale

Classification des quadriques

Surfaces et quadriquesDifficilequadriqueclassificationsignatureréduction

Hyperboloïde à une nappe : surface réglée

Surfaces et quadriquesDifficilehyperboloïdesurface régléegénératricesfactorisation

Théorème de Gauss : courbure et sections normales

Surfaces et quadriquesTres difficileGausscourbureEgregiumformes fondamentales

Sections planes des quadriques (théorème de Dandelin)

Surfaces et quadriquesDifficileDandelincônesections coniquessphères

Équivalence des normés en dimension finie

Topologie des espaces vectoriels normésDifficilenormés équivalentesdimension finiecompacitésphère

Complétude de

(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)

Topologie des espaces vectoriels normésDifficileBanachcomplétudenorme supconvergence uniforme

Théorème du point fixe de Banach-Picard

Topologie des espaces vectoriels normésDifficilepoint fixeBanach-PicardcontractioncomplétudeCauchy

Ouverts, fermés et caractérisation séquentielle

Topologie des espaces vectoriels normésMoyenouvertferméadhérencecaractérisation séquentielle

Continuité et caractérisation par les ouverts

Topologie des espaces vectoriels normésMoyencontinuitéouvertspréimagetopologie

Théorème de Baire

Topologie des espaces vectoriels normésTres difficileBaireouvert densecomplétudeintersection dénombrable

Caractérisation de la compacité en dimension finie : Bolzano-Weierstrass

CompacitéDifficileBolzano-Weierstrasscompacitéfermé bornédimension finie

Image continue d'un compact

CompacitéMoyencompactcontinuitébornes atteintesuniforme continuité

Théorème de Borel-Lebesgue

CompacitéTres difficileBorel-Lebesguecompacitérecouvrement ouvertLebesgue

Théorème d'Ascoli

CompacitéTres difficileAscoliéquicontinuitéextraction diagonalecompact

Compact = fermé borné en dimension finie

CompacitéTres difficileRieszdimension finielocalement compactboule unité

Théorème de Tychonoff (cas fini) : produit de compacts

CompacitéMoyenproduitTychonoffcompactextraction

Connexité par arcs implique connexité

ConnexitéDifficileconnexitéconnexe par arcscontre-exempleTVI

Les connexes de

\mathbb{R}

sont les intervalles

ConnexitéMoyenconnexitéintervallesborne supérieureR

Image continue d'un connexe est connexe

ConnexitéMoyenconnexitéimage continueTVIintervalle

Composantes connexes de

\text{GL}_n(\mathbb{R})

ConnexitéDifficileGL_ncomposantes connexesdéterminantconnexe par arcs

Théorème de Darboux (propriété des valeurs intermédiaires pour les dérivées)

ConnexitéDifficileDarbouxvaleurs intermédiairesdérivéeminimum

Tours de Hanoï (récursivité)

Bases de PythonFacilerécursivitéTours de Hanoïexponentielpreuve par récurrence

Fibonacci avec mémoïsation

Bases de PythonFacileFibonaccimémoïsationprogrammation dynamiquecomplexité

Tri fusion (divide and conquer)

AlgorithmiqueMoyentri fusiondiviser pour régnerrécurrencecomplexité

Recherche dichotomique

AlgorithmiqueFacilerecherche dichotomiqueinvariant de boucleterminaisonlogarithme

Parcours en profondeur et en largeur d'un graphe

AlgorithmiqueMoyenDFSBFSgrapheparcourspilefile

Plus court chemin : algorithme de Dijkstra simplifié

AlgorithmiqueDifficileDijkstraplus court chemingraphe pondérétas

Problème du sac à dos (programmation dynamique)

AlgorithmiqueDifficilesac à dosprogrammation dynamiqueoptimisationpseudo-polynomial

Détection de cycle dans un graphe orienté (DFS)

Structures de donnéesMoyencycleDFSgraphe orientétrois couleurs

Évaluation d'une expression en notation polonaise inverse

Structures de donnéesFacilepileNPInotation polonaiseévaluationexpression

Arbre binaire de recherche : insertion et suppression

Structures de donnéesMoyenABRarbre binaireinsertionsuppressionrécursivité

Complexité amortie : pile avec deux files

Structures de donnéesDifficilecomplexité amortiepilefilepotentiel

Requête SQL avec jointures et agrégation

Bases de données et SQLMoyenSQLjointureagrégationGROUP BYHAVING

Tri par dénombrement (counting sort)

Bases de données et SQLMoyentri par dénombrementtri linéairecounting sortborne inférieure

Automate reconnaissant un langage rationnel

Logique et automatesFacileautomateAFDlangage rationnelexpression rationnelleKleene

Preuve de terminaison par variant de boucle

Logique et automatesMoyenterminaisonvariantinvariantEuclidePGCD