Connexité par arcs et connexité
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Avant de lire
Un espace topologique est connexe si et seulement si :
Avant de lire
Un espace est connexe par arcs si et seulement si :
Connexité par arcs
Définition. Un espace topologique est connexe par arcs si pour tous , il existe un chemin continu joignant a :
Exemples
- Tout est connexe par arcs (on prend le segment )
- prive de est connexe par arcs pour
- n'est pas connexe par arcs
Connexité
Définition. est connexe si les seules parties a la fois ouvertes et fermées sont et .
Équivalemment : on ne peut pas écrire avec ouverts non vides disjoints.
Lien entre les deux notions
Théorème. Connexe par arcs connexe. La réciproque est fausse en général.
En pratique, dans les espaces métriques, on utilise surtout la connexité par arcs.
Pause : vérifie
La relation entre connexité et connexité par arcs est :
Connexe par arcs implique connexe (les chemins issus d'un point fixé sont des images continues du connexe et recouvrent l'espace). La réciproque est fausse : l'adhérence du graphe de est connexe mais pas connexe par arcs. Cependant, pour les ouverts de , les deux notions coïncident.
Parties connexes de
Théorème. Les parties connexes de sont exactement les intervalles.
Après la lecture
Un espace topologique est connexe si et seulement si :
Un espace est connexe s'il ne peut pas être partitionné en deux ouverts non vides disjoints, ce qui revient à dire que les seuls ouverts-fermés (clopen) sont et entier.
Après la lecture
Un espace est connexe par arcs si et seulement si :
La connexité par arcs exige que tout couple de points puisse être relié par un chemin continu à valeurs dans . C'est une propriété plus forte que la connexité.