Connexité par arcs et connexité

Connexité par arcs

Définition. Un espace topologique $E$ est connexe par arcs si pour tous $a, b \in E$, il existe un chemin continu joignant $a$ a $b$ :

$$\exists \gamma : [0,1] \to E \text{ continue}, \quad \gamma(0) = a, \; \gamma(1) = b$$

Exemples

• Tout espace vectoriel norme est connexe par arcs (on prend le segment $\gamma(t) = (1-t)a + tb$)
• $\mathbb{R}^n$ prive de $\{0\}$ est connexe par arcs pour $n \geq 2$
• $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ n'est pas connexe par arcs

Connexité

Définition. $E$ est connexe si les seules parties a la fois ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et $E$.

Équivalemment : on ne peut pas écrire $E = U \cup V$ avec $U, V$ ouverts non vides disjoints.

Lien entre les deux notions

Théorème. Connexe par arcs $\Rightarrow$ connexe. La réciproque est fausse en général.

En pratique, dans les espaces métriques, on utilise surtout la connexité par arcs.

Parties connexes de $\mathbb{R}$

Théorème. Les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.