Compacité : définitions et propriétés

Définition

Définition. Un espace métrique $(K, d)$ est compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini :

$$K = \bigcup_{i \in I} U_i \quad \Rightarrow \quad \exists i_1, \ldots, i_n, \quad K = U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_n}$$

Compacité séquentielle

Théorème. Dans un espace métrique, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $K$ est compact

2. $K$ est séquentiellement compact : toute suite de $K$ admet une sous-suite convergente dans $K$

Théorème de Heine-Borel

Théorème. Un sous-ensemble $K$ de $\mathbb{R}^n$ est compact $\iff$ $K$ est fermé et borné.

Exemples :

• $[a, b]$ est compact dans $\mathbb{R}$
• $\bar{B}(0, R)$ est compact dans $\mathbb{R}^n$
• $\mathbb{R}$ n'est pas compact (non borné)
• $]0, 1]$ n'est pas compact (non fermé)

Propriétés des compacts

Théorème.

1. Tout fermé d'un compact est compact

2. Tout compact est fermé (dans un espace separe)

3. L'image continue d'un compact est compacte

4. Toute suite de Cauchy dans un compact converge (un compact est complet)

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème. De toute suite bornée de $\mathbb{R}^n$, on peut extraire une sous-suite convergente.

C'est la formulation séquentielle de la compacité de $\bar{B}(0, R)$ dans $\mathbb{R}^n$.