Fonctions continues sur un compact

Théorèmes fondamentaux

Image continue d'un compact

Théorème. Si $f: K \to \mathbb{R}$ est continue et $K$ est compact, alors $f(K)$ est compact.

Démonstration. Soit $(U_i)$ un recouvrement ouvert de $f(K)$. Alors $(f^{-1}(U_i))$ est un recouvrement ouvert de $K$ (par continuité). On en extrait un sous-recouvrement fini, et les images correspondantes recouvrent $f(K)$. $\blacksquare$