Convergence simple et uniforme

Convergence simple

Définition. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A \subset \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f : A \to \mathbb{R}$ si :

$$\forall x \in A, \quad \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$$

Autrement dit, pour chaque $x$ fixe, la suite numérique $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$.

Convergence uniforme

Définition. On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si :

$$\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| = 0$$

Équivalemment :

Remarque. La convergence uniforme implique la convergence simple (la réciproque est fausse).

Critère pratique

Pour montrer la convergence uniforme, on calcule :

et on montre que cette quantite tend vers $0$.

Exemple fondamental

Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$.

• Convergence simple vers $f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1[ \\ 1 & \text{si } x = 1 \end{cases}$
• Pas de convergence uniforme sur $[0,1]$ car $\sup_{x \in [0,1]} |x^n - f(x)| = 1$ pour tout $n$.
• Convergence uniforme sur $[0, a]$ pour tout $0 < a < 1$ : $\sup_{x \in [0,a]} x^n = a^n \to 0$.