Théorèmes d'interversion

Théorèmes d'interversion des limites

Théorème. Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ et si chaque $f_n$ est continue sur $A$ , alors $f$ est $A$ .

Démonstration (idée). Pour tout $x_0 \in A$ et $\varepsilon > 0$ :

|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|

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Théorème. Si $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ et si chaque $f_n$ est continue sur $A$ , alors $f$ est $A$ .

Démonstration (idée). Pour tout $x_0 \in A$ et $\varepsilon > 0$ :

|f(x) - f(x_0)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)|

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