Avant de lire
Les coefficients de Fourier exponentiels d'une fonction
f f f 2 π 2\pi 2 π -périodique sont :
A c n ( f ) = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) e − i n t d t c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}\,dt c n ( f ) = 2 π 1 ∫ − π π f ( t ) e − in t d t B c n ( f ) = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) e i n t d t c_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{int}\,dt c n ( f ) = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) e in t d t C c n ( f ) = f ( n ) c_n(f) = f(n) c n ( f ) = f ( n ) D c n ( f ) = ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t c_n(f) = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt c n ( f ) = ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t
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Si
f f f est une fonction paire et
2 π 2\pi 2 π -périodique, alors :
A la série ne contient que des sinus B tous les coefficients sont nuls C les coefficients b n b_n b n D les coefficients a n a_n a n
Fonctions périodiques et 2 π 2\pi 2 π Soit f : R → C f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} f : R → C 2 π 2\pi 2 π [ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [ 0 , 2 π ]
Définition des coefficients
Définition. Les coefficients de Fourier de f f f
c n ( f ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) e − i n t d t , n ∈ Z c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int} \, dt, \quad n \in \mathbb{Z} c n ( f ) = 2 π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) e − in t d t , n ∈ Z En notation réelle :
a n ( f ) = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) cos ( n t ) d t , n ≥ 0 a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos(nt) \, dt, \quad n \geq 0 a n ( f ) = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) cos ( n t ) d t , n ≥ 0 b n ( f ) = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t , n ≥ 1 b_n(f) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt) \, dt, \quad n \geq 1 b n ( f ) = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) sin ( n t ) d t , n ≥ 1 Les liens : c n = a n − i b n 2 c_n = \frac{a_n - ib_n}{2} c n = 2 a n − i b n c − n = a n + i b n 2 c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} c − n = 2 a n + i b n
Série de Fourier
Définition. La série de Fourier de f f f
S N ( f ) ( x ) = ∑ n = − N N c n ( f ) e i n x = a 0 2 + ∑ n = 1 N ( a n cos ( n x ) + b n sin ( n x ) ) S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{inx} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) S N ( f ) ( x ) = n = − N ∑ N c n ( f ) e in x = 2 a 0 + n = 1 ∑ N ( a n cos ( n x ) + b n sin ( n x ))
Propriétés des coefficients
Si f f f paire : b n = 0 b_n = 0 b n = 0 a n = 2 π ∫ 0 π f ( t ) cos ( n t ) d t a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt a n = π 2 ∫ 0 π f ( t ) cos ( n t ) d t Si f f f impaire : a n = 0 a_n = 0 a n = 0 b n = 2 π ∫ 0 π f ( t ) sin ( n t ) d t b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(t)\sin(nt)\,dt b n = π 2 ∫ 0 π f ( t ) sin ( n t ) d t
Lemme de Riemann-Lebesgue. lim ∣ n ∣ → + ∞ c n ( f ) = 0 \lim_{|n| \to +\infty} c_n(f) = 0 lim ∣ n ∣ → + ∞ c n ( f ) = 0
Pause : vérifie
Le lemme de Riemann-Lebesgue affirme que pour
f ∈ L 1 f \in L^1 f ∈ L 1 :
A c n ( f ) → 0 c_n(f) \to 0 c n ( f ) → 0 ∣ n ∣ → + ∞ |n| \to +\infty ∣ n ∣ → + ∞ B ∑ ∣ c n ∣ < + ∞ \sum |c_n| < +\infty ∑ ∣ c n ∣ < + ∞ C c n ( f ) → f ( 0 ) c_n(f) \to f(0) c n ( f ) → f ( 0 ) D c n ( f ) = 0 c_n(f) = 0 c n ( f ) = 0 ∣ n ∣ |n| ∣ n ∣ Le lemme de Riemann-Lebesgue : si
f ∈ L 1 f \in L^1 f ∈ L 1 , alors
c n ( f ) → 0 c_n(f) \to 0 c n ( f ) → 0 quand
∣ n ∣ → + ∞ |n| \to +\infty ∣ n ∣ → + ∞ . Autrement dit,
a n → 0 a_n \to 0 a n → 0 et
b n → 0 b_n \to 0 b n → 0 . Ce résultat ne donne pas de vitesse de décroissance sans hypothèse supplémentaire de régularité.
Exemples Pour f ( t ) = t f(t) = t f ( t ) = t ] − π , π [ ]-\pi, \pi[ ] − π , π [ a n = 0 a_n = 0 a n = 0 b n = 2 ( − 1 ) n + 1 n b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} b n = n 2 ( − 1 ) n + 1
Après la lecture
Les coefficients de Fourier exponentiels d'une fonction
f f f 2 π 2\pi 2 π -périodique sont :
A c n ( f ) = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) e i n t d t c_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{int}\,dt c n ( f ) = π 1 ∫ 0 2 π f ( t ) e in t d t B c n ( f ) = f ( n ) c_n(f) = f(n) c n ( f ) = f ( n ) C c n ( f ) = ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t c_n(f) = \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos(nt)\,dt c n ( f ) = ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t D c n ( f ) = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) e − i n t d t c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}\,dt c n ( f ) = 2 π 1 ∫ − π π f ( t ) e − in t d t Les coefficients de Fourier exponentiels sont
c n ( f ) = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) e − i n t d t c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}\,dt c n ( f ) = 2 π 1 ∫ − π π f ( t ) e − in t d t . Les coefficients réels sont
a n = 1 π ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt a n = π 1 ∫ − π π f ( t ) cos ( n t ) d t et
b n = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin ( n t ) d t b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt b n = π 1 ∫ − π π f ( t ) sin ( n t ) d t .
Après la lecture
Si
f f f est une fonction paire et
2 π 2\pi 2 π -périodique, alors :
A tous les coefficients sont nuls B les coefficients a n a_n a n C la série ne contient que des sinus D les coefficients b n b_n b n Si
f f f est paire,
f ( t ) sin ( n t ) f(t)\sin(nt) f ( t ) sin ( n t ) est impaire donc
b n = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin ( n t ) d t = 0 b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt = 0 b n = π 1 ∫ − π π f ( t ) sin ( n t ) d t = 0 . La série de Fourier est en cosinus :
f ∼ a 0 2 + ∑ a n cos ( n t ) f \sim \frac{a_0}{2} + \sum a_n\cos(nt) f ∼ 2 a 0 + ∑ a n cos ( n t ) . Pour
f f f impaire, ce sont les
a n a_n a n qui s'annulent.
