Coefficients de Fourier

Fonctions périodiques et $2\pi$-périodiques

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $2\pi$-périodique et intégrable sur $[0, 2\pi]$.

Définition des coefficients

Définition. Les coefficients de Fourier de $f$ sont :

$$c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int} \, dt, \quad n \in \mathbb{Z}$$

En notation réelle :

Les liens : $c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}$, $c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2}$.

Série de Fourier

Définition. La série de Fourier de $f$ est la série trigonométrique :

$$S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{inx} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

Propriétés des coefficients

• Si $f$ est paire : $b_n = 0$ et $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt$
• Si $f$ est impaire : $a_n = 0$ et $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(t)\sin(nt)\,dt$

Lemme de Riemann-Lebesgue. $\lim_{|n| \to +\infty} c_n(f) = 0$.

Exemples

Pour $f(t) = t$ sur $]-\pi, \pi[$ : $a_n = 0$, $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$.