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Théorème (Parseval). Si fff est continue par morceaux et 2π2\pi2π-périodique :12π∫02π∣f(t)∣2 dt=∑n=−∞+∞∣cn∣2=a024+12∑n=1+∞(an2+bn2)\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(t)|^2 \, dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2)2π1∫02π∣f(t)∣2dt=n=−∞∑+∞∣cn∣2=4a02+21n=1∑+∞(an2+bn2)
Théorème (Parseval). Si fff est continue par morceaux et 2π2\pi2π-périodique :
En appliquant Parseval a f(t)=tf(t) = tf(t)=t sur ]−π,π[]-\pi, \pi[]−π,π[ :
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