La formule de Hadamard donne le rayon de convergence de ∑anzn :
Avant de lire
Le rayon de convergence de ∑nnn!xn est :
Séries entières : rayon de convergence
Définition
Définition. Une série entière est une série de fonctions de la forme :
n=0∑+∞anzn
ou (an)⊂C et z∈C.
Lemme d'Abel
Lemme (Abel). Si la suite (anz0n) est pour un certain z0=0, alors la série ∑anzn converge absolument pour tout ∣z∣<∣z0∣.
Rayon de convergence
Définition. Le rayon de convergence est :
R=sup{r≥0:(anrn) est bornee}∈[0,+∞]
Théorème. Pour la série ∑anzn :
- Si ∣z∣<R : convergence absolue
- Si ∣z∣>R : divergence grossiere (anzn→0)
- Si ∣z∣=R : aucune conclusion générale
Formules de calcul
R=n→+∞liman+1an(si la limite existe)
Formule de Hadamard
R1=n→+∞limsup∣an∣1/n
Exemples classiques
Série
Rayon R
∑zn
R=1
∑n!zn
R=+∞
∑n!zn
R=0
∑nzn
R=1
∑n2zn
R=1
Après la lecture
La formule de Hadamard donne le rayon de convergence de ∑anzn :
La formule de Hadamard 1/R=limsup∣an∣1/n est toujours valable. La règle de d'Alembert (option D) nécessite que la limite existe. On a convergence absolue pour ∣z∣<R et divergence grossière pour ∣z∣>R.
Après la lecture
Le rayon de convergence de ∑nnn!xn est :
Par d'Alembert : anan+1=(n+1)n+1(n+1)!⋅n!nn=(n+1n)n=(1+1/n)n1→e1. Donc R=e.
Illustrations
Convergence absolue pour |x| < R, divergence pour |x| > RLa série exponentielle converge pour tout x ∈ ℝ
