Séries entières : rayon de convergence

Définition

Définition. Une série entière est une série de fonctions de la forme :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$$

ou $(a_n) \subset \mathbb{C}$ et $z \in \mathbb{C}$.

Lemme d'Abel

Lemme (Abel). Si la suite $(a_n z_0^n)$ est bornée pour un certain $z_0 \neq 0$, alors la série $\sum a_n z^n$ converge absolument pour tout $|z| < |z_0|$.

Rayon de convergence

Définition. Le rayon de convergence est :

$$R = \sup \{ r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ est bornee} \} \in [0, +\infty]$$

Théorème. Pour la série $\sum a_n z^n$ :

- Si $|z| < R$ : convergence absolue

- Si $|z| > R$ : divergence grossiere ($a_n z^n \not\to 0$)

- Si $|z| = R$ : aucune conclusion générale

Formules de calcul

Règle de d'Alembert

Formule de Hadamard

Exemples classiques

| Série | Rayon $R$ | |-------|-----------| | $\sum z^n$ | $R = 1$ | | $\sum \frac{z^n}{n!}$ | $R = +\infty$ | | $\sum n! \, z^n$ | $R = 0$ | | $\sum \frac{z^n}{n}$ | $R = 1$ | | $\sum \frac{z^n}{n^2}$ | $R = 1$ |