Équations différentielles linéaires

EDL d'ordre 1

Équation homogène $y' = a(t) y$

Théorème. Les solutions sont : $y(t) = C \cdot e^{A(t)}$ ou $A(t) = \int a(t) \, dt$ et $C \in \mathbb{R}$.

Équation complète $y' = a(t) y + b(t)$

Méthode de variation de la constante :

On resout l'homogène : $y_h = C e^{A(t)}$

On cherche $y_p = C(t) e^{A(t)}$ ou $C'(t) = b(t) e^{-A(t)}$

Solution générale : $y = y_h + y_p$.

Cas a coefficients constants : $y' + ay = b(t)$

Les solutions de l'homogène sont $y_h = Ce^{-at}$.

EDL d'ordre 2 a coefficients constants

Équation caractéristique

• Deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ : $y_h = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$
• Racine double $r_0$ : $y_h = (C_1 + C_2 t) e^{r_0 t}$
• Racines complexes $\alpha \pm i\beta$ : $y_h = e^{\alpha t}(C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t))$

Second membre particulier

Si $f(t) = P(t) e^{\lambda t}$, on cherche $y_p = Q(t) t^m e^{\lambda t}$ ou $m$ est la multiplicite de $\lambda$ comme racine de l'équation caractéristique.