Avant de lire
L'ensemble des solutions de
y ′ = a y y' = ay y ′ = a y (avec
a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R ) est :
A { t ↦ C e a t : C ∈ R } \{t \mapsto Ce^{at} : C \in \mathbb{R}\} { t ↦ C e a t : C ∈ R } B { t ↦ a t + C : C ∈ R } \{t \mapsto at + C : C \in \mathbb{R}\} { t ↦ a t + C : C ∈ R } C { t ↦ C cos ( a t ) : C ∈ R } \{t \mapsto C\cos(at) : C \in \mathbb{R}\} { t ↦ C cos ( a t ) : C ∈ R } D { t ↦ e a t } \{t \mapsto e^{at}\} { t ↦ e a t }
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La méthode de variation de la constante pour
y ′ + a ( t ) y = b ( t ) y' + a(t)y = b(t) y ′ + a ( t ) y = b ( t ) consiste à :
A chercher y ( t ) = C ( t ) ⋅ e − A ( t ) y(t) = C(t) \cdot e^{-A(t)} y ( t ) = C ( t ) ⋅ e − A ( t ) A ( t ) = ∫ a ( t ) d t A(t) = \int a(t)\,dt A ( t ) = ∫ a ( t ) d t B intégrer les deux membres de l'équation C chercher une solution polynomiale D poser y = e a t y = e^{at} y = e a t
EDL d'ordre 1
Équation homogène y ′ = a ( t ) y y' = a(t) y y ′ = a ( t ) y
Théorème. Les solutions sont : y ( t ) = C ⋅ e A ( t ) y(t) = C \cdot e^{A(t)} y ( t ) = C ⋅ e A ( t ) A ( t ) = ∫ a ( t ) d t A(t) = \int a(t) \, dt A ( t ) = ∫ a ( t ) d t C ∈ R C \in \mathbb{R} C ∈ R
Équation complète y ′ = a ( t ) y + b ( t ) y' = a(t) y + b(t) y ′ = a ( t ) y + b ( t ) Méthode de variation de la constante :
On resout l'homogène : y h = C e A ( t ) y_h = C e^{A(t)} y h = C e A ( t )
On cherche y p = C ( t ) e A ( t ) y_p = C(t) e^{A(t)} y p = C ( t ) e A ( t ) C ′ ( t ) = b ( t ) e − A ( t ) C'(t) = b(t) e^{-A(t)} C ′ ( t ) = b ( t ) e − A ( t )
Solution générale : y = y h + y p y = y_h + y_p y = y h + y p
Cas a coefficients constants : y ′ + a y = b ( t ) y' + ay = b(t) y ′ + a y = b ( t ) Les solutions de l'homogène sont y h = C e − a t y_h = Ce^{-at} y h = C e − a t
EDL d'ordre 2 a coefficients constants
y ′ ′ + a y ′ + b y = f ( t ) y'' + ay' + by = f(t) y ′′ + a y ′ + b y = f ( t )
Équation caractéristique
r 2 + a r + b = 0 r^2 + ar + b = 0 r 2 + a r + b = 0
Deux racines réelles distinctes r 1 , r 2 r_1, r_2 r 1 , r 2 y h = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t y_h = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} y h = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t Racine double r 0 r_0 r 0 y h = ( C 1 + C 2 t ) e r 0 t y_h = (C_1 + C_2 t) e^{r_0 t} y h = ( C 1 + C 2 t ) e r 0 t Racines complexes α ± i β \alpha \pm i\beta α ± i β y h = e α t ( C 1 cos ( β t ) + C 2 sin ( β t ) ) y_h = e^{\alpha t}(C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t)) y h = e α t ( C 1 cos ( β t ) + C 2 sin ( β t ))
Pause : vérifie
L'équation caractéristique de
y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = 0 y'' + 3y' + 2y = 0 y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 0 a pour racines :
A r = 0 r = 0 r = 0 r = − 3 r = -3 r = − 3 B r = − 3 r = -3 r = − 3 r = 2 r = 2 r = 2 C r = 1 r = 1 r = 1 r = 2 r = 2 r = 2 D r = − 1 r = -1 r = − 1 r = − 2 r = -2 r = − 2 L'équation caractéristique est
r 2 + 3 r + 2 = ( r + 1 ) ( r + 2 ) = 0 r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0 r 2 + 3 r + 2 = ( r + 1 ) ( r + 2 ) = 0 , de racines
r 1 = − 1 r_1 = -1 r 1 = − 1 et
r 2 = − 2 r_2 = -2 r 2 = − 2 . La solution générale est donc
y ( t ) = C 1 e − t + C 2 e − 2 t y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} y ( t ) = C 1 e − t + C 2 e − 2 t .
Second membre particulier Si f ( t ) = P ( t ) e λ t f(t) = P(t) e^{\lambda t} f ( t ) = P ( t ) e λ t y p = Q ( t ) t m e λ t y_p = Q(t) t^m e^{\lambda t} y p = Q ( t ) t m e λ t m m m λ \lambda λ
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L'ensemble des solutions de
y ′ = a y y' = ay y ′ = a y (avec
a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R ) est :
A { t ↦ e a t } \{t \mapsto e^{at}\} { t ↦ e a t } B { t ↦ a t + C : C ∈ R } \{t \mapsto at + C : C \in \mathbb{R}\} { t ↦ a t + C : C ∈ R } C { t ↦ C e a t : C ∈ R } \{t \mapsto Ce^{at} : C \in \mathbb{R}\} { t ↦ C e a t : C ∈ R } D { t ↦ C cos ( a t ) : C ∈ R } \{t \mapsto C\cos(at) : C \in \mathbb{R}\} { t ↦ C cos ( a t ) : C ∈ R } L'EDO linéaire
y ′ = a y y' = ay y ′ = a y a pour solution générale
y ( t ) = C e a t y(t) = Ce^{at} y ( t ) = C e a t où
C ∈ R C \in \mathbb{R} C ∈ R est déterminé par la condition initiale
y ( t 0 ) = y 0 y(t_0) = y_0 y ( t 0 ) = y 0 , donnant
C = y 0 e − a t 0 C = y_0 e^{-at_0} C = y 0 e − a t 0 . L'espace des solutions est un espace vectoriel de dimension 1.
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La méthode de variation de la constante pour
y ′ + a ( t ) y = b ( t ) y' + a(t)y = b(t) y ′ + a ( t ) y = b ( t ) consiste à :
A chercher une solution polynomiale B intégrer les deux membres de l'équation C poser y = e a t y = e^{at} y = e a t D chercher y ( t ) = C ( t ) ⋅ e − A ( t ) y(t) = C(t) \cdot e^{-A(t)} y ( t ) = C ( t ) ⋅ e − A ( t ) A ( t ) = ∫ a ( t ) d t A(t) = \int a(t)\,dt A ( t ) = ∫ a ( t ) d t On connaît la solution homogène
y h = C e − A ( t ) y_h = Ce^{-A(t)} y h = C e − A ( t ) . On pose
y = C ( t ) e − A ( t ) y = C(t)e^{-A(t)} y = C ( t ) e − A ( t ) et on injecte dans l'équation :
C ′ ( t ) e − A ( t ) = b ( t ) C'(t)e^{-A(t)} = b(t) C ′ ( t ) e − A ( t ) = b ( t ) , soit
C ′ ( t ) = b ( t ) e A ( t ) C'(t) = b(t)e^{A(t)} C ′ ( t ) = b ( t ) e A ( t ) . On intègre pour trouver
C ( t ) C(t) C ( t ) . C'est la méthode de variation de la constante (Lagrange).
