Groupes

Définition

Définition. Un groupe $(G, \star)$ est un ensemble $G$ muni d'une loi $\star$ telle que :

1. Associativite : $\forall a, b, c \in G, \; (a \star b) \star c = a \star (b \star c)$

2. Élément neutre : $\exists e \in G, \; \forall a \in G, \; a \star e = e \star a = a$

3. Inverse : $\forall a \in G, \; \exists a^{-1} \in G, \; a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$

Si de plus $a \star b = b \star a$, le groupe est dit abelien (ou commutatif).

Exemples

• $(\mathbb{Z}, +)$ : groupe abelien, élément neutre $0$
• $(\mathbb{R}^*, \times)$ : groupe abelien, élément neutre $1$
• $(GL_n(\mathbb{R}), \times)$ : groupe non abelien pour $n \geq 2$
• $(\mathfrak{S}_n, \circ)$ : groupe symétrique (permutations)

Sous-groupes

Définition. $H \subset G$ est un sous-groupe si :

- $e \in H$

- $\forall a, b \in H, \; a \star b \in H$

- $\forall a \in H, \; a^{-1} \in H$

Théorème (caractérisation). $H \neq \emptyset$ est un sous-groupe de $G$ ssi : $\forall a, b \in H, \; a \star b^{-1} \in H$.

Morphismes de groupes

Définition. $f : G \to H$ est un morphisme si $f(a \star b) = f(a) \star' f(b)$.

• $\ker f = f^{-1}(\{e_H\})$ est un sous-groupe de $G$
• $\operatorname{Im} f$ est un sous-groupe de $H$
• $f$ injectif $\iff \ker f = \{e_G\}$

Théorème de Lagrange

Théorème. Si $G$ est fini et $H$ est un sous-groupe de $G$, alors $|H|$ divise $|G|$.

En particulier, l'ordre de tout élément divise $|G|$.