Un groupe (G,⋆) doit vérifier les propriétés suivantes SAUF :
Avant de lire
Le théorème de Lagrange dans un groupe fini affirme que :
Définition
Définition. Un (G,⋆) est un ensemble G muni d'une loi ⋆ telle que :
1. Associativite : ∀a,b,c∈G,(a⋆b)⋆c=a⋆(b⋆c)
2. Élément neutre : ∃e∈G,∀a∈G,a⋆e=e⋆a=a
3. Inverse : ∀a∈G,∃a−1∈G,a⋆a−1=a−1⋆a=e
Si de plus a⋆b=b⋆a, le groupe est dit abelien (ou commutatif).
Exemples
(Z,+) : groupe abelien, élément neutre 0
(R∗,×) : groupe abelien, élément neutre 1
(GLn(R),×) : groupe non abelien pour n≥2
(Sn,∘) : groupe (permutations)
Sous-groupes
Définition.H⊂G est un sous-groupe si :
- e∈H
- ∀a,b∈H,a⋆b∈H
- ∀a∈H,a−1∈H
Théorème (caractérisation).H=∅ est un sous-groupe de G ssi : ∀a,b∈H,a⋆b−1∈H.
Morphismes de groupes
Définition.f:G→H est un morphisme si f(a⋆b)=f(a)⋆′f(b).
kerf=f−1({eH}) est un sous-groupe de G
Imf est un sous-groupe de H
f injectif ⟺kerf={eG}
Pause : vérifie
Un morphisme de groupes f:(G,⋆)→(G′,⋆′) vérifie :
Un morphisme de groupes respecte la loi de composition : f(x⋆y)=f(x)⋆′f(y). Il en découle que f(eG)=eG′ et f(x−1)=f(x)−1. Un morphisme bijectif est un isomorphisme.
Théorème de Lagrange
Théorème. Si G est fini et H est un sous-groupe de G, alors ∣H∣ divise ∣G∣.
En particulier, l'ordre de tout élément divise ∣G∣.
Après la lecture
Un groupe (G,⋆) doit vérifier les propriétés suivantes SAUF :
Un groupe nécessite : associativité, élément neutre, et inverse pour chaque élément. La commutativité n'est pas requise ; un groupe commutatif est dit abélien. Exemple non abélien : (S3,∘).
Après la lecture
Le théorème de Lagrange dans un groupe fini affirme que :
Théorème de Lagrange : si H est un sous-groupe de G fini, alors ∣H∣ divise ∣G∣. En corollaire, l'ordre de tout élément divise ∣G∣. La réciproque est fausse : A4 (ordre 12) n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.
Illustrations
Un sous-groupe est stable par loi et passage à l'inverseThéorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe divise celui du groupe
