Calcul matriciel et déterminants

Opérations sur les matrices

Produit matriciel

Si $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}$, alors $AB \in \mathcal{M}_{n,q}$ avec :

Attention : $AB \neq BA$ en général !

Déterminant

Définition. Le déterminant est l'unique application $\det: \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ qui est :

- $n$-linéaire par rapport aux colonnes

- alternee

- normalisee ($\det(I_n) = 1$)

Formules

Matrice inverse

$A$ est inversible $\iff \det(A) \neq 0$.

Pour $A \in \mathcal{M}_2$ :

Systèmes linéaires

Le système $AX = B$ admet une unique solution $X = A^{-1}B$ si $A$ est inversible.

Théorème du rang. $\text{rg}(A) = n \iff A$ inversible $\iff \det(A) \neq 0$.