Si A∈Mn,p(K) et B∈Mp,q(K), le produit AB appartient à :
Opérations sur les matrices
Produit matriciel
Si A∈Mn,p et B∈Mp,q, alors AB∈Mn,q avec :
(AB)i,j=k=1∑pai,kbk,j
Attention :AB=BA en général !
Déterminant
Définition. Le déterminant est l'unique application det:Mn(K)→K qui est :
- n-linéaire par rapport aux colonnes
- alternee
- normalisee (det(In)=1)
Pause : vérifie
Le déterminant est caractérisé comme l'unique application det:Mn(K)→K qui est :
Trois propriétés caractérisent le déterminant : linéaire en chaque colonne séparément, alterné (nul dès que deux colonnes sont égales, donc changé de signe quand on les échange), et det(In)=1. Le déterminant n'est pas linéaire sur Mn (det(2A)=2ndet(A)), la multiplicativité est une conséquence et non la définition, et une forme symétrique, invariante par échange de deux colonnes, ne peut pas être alternée, où cet échange change le signe.
Formules
det(acbd)=ad−bc
det(AB)=det(A)⋅det(B)
det(A−1)=det(A)1
Matrice inverse
A est ⟺det(A)=0.
Pour A∈M2 :
A−1=ad−bc1(d−c−ba)
Systèmes linéaires
Le système AX=B admet une unique solution X=A−1B si A est inversible.
.rg(A)=n⟺A inversible ⟺det(A)=0.
Après la lecture
Soit A=(1324). Alors A−1= ?
det(A)=4−6=−2. A−1=−21(4−3−21)=(−23/21−1/2). Attention au signe du déterminant : 4−6=−2, pas +2.
Après la lecture
Si A∈Mn,p(K) et B∈Mp,q(K), le produit AB appartient à :
Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B, ici p : cette dimension commune disparaît et il reste n lignes (celles de A) et q colonnes (celles de B). Le coefficient (AB)i,j=∑k=1pai,kbk,j somme sur l'indice k, de 1 à p.
