Produit scalaire et orthogonalité

Produit scalaire

Définition. Un produit scalaire sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ qui est :

1. Symétrique : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$

2. Définie positive : $\langle x, x \rangle \geq 0$ et $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$

Un espace muni d'un produit scalaire est un espace prehilbertien. S'il est de dimension finie, c'est un espace euclidien.

Norme associee

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Théorème. $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$, avec égalité ssi $x$ et $y$ sont colineaires.

Inégalité triangulaire

Orthogonalité

Définition. $x$ et $y$ sont orthogonaux si $\langle x, y \rangle = 0$, noté $x \perp y$.

Théorème (Pythagore). Si $x \perp y$, alors $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.

Bases orthonormées

Définition. Une base $(e_1, \ldots, e_n)$ est orthonormée (BON) si $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.

Dans une BON : $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$.

Procede de Gram-Schmidt

Théorème. De toute famille libre, on peut construire une famille orthonormée engendrant le même sous-espace, par le procédé :

$$\tilde{e}_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle e_k, \tilde{e}_i \rangle \tilde{e}_i, \quad \text{puis } \hat{e}_k = \frac{\tilde{e}_k}{\|\tilde{e}_k\|}$$