Avant de lire
L'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien s'écrit :
A ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ B ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ C ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 D ⟨ x , y ⟩ ≤ ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 \langle x, y \rangle \leq \|x\|^2 + \|y\|^2 ⟨ x , y ⟩ ≤ ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2
Avant de lire
Le procédé de Gram-Schmidt permet de :
A calculer un déterminant B construire une famille orthonormée à partir d'une famille libre C trouver les valeurs propres d'un endomorphisme D diagonaliser une matrice
Produit scalaire
Définition. Un produit scalaire sur un R \mathbb{R} R E E E ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : E × E → R \langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R} ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : E × E → R
1. Symétrique ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩
2. Définie positive : ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 \langle x, x \rangle \geq 0 ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0 \langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0 ⟨ x , x ⟩ = 0 ⟺ x = 0
Un espace muni d'un produit scalaire est un espace prehilbertien . S'il est de dimension finie, c'est un espace euclidien .
Norme associee
∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩ \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} ∥ x ∥ = ⟨ x , x ⟩
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème. ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ x x x y y y
Inégalité triangulaire
∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥
Orthogonalité
Définition. x x x y y y orthogonaux si ⟨ x , y ⟩ = 0 \langle x, y \rangle = 0 ⟨ x , y ⟩ = 0 x ⊥ y x \perp y x ⊥ y
Théorème (Pythagore). Si x ⊥ y x \perp y x ⊥ y ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2
Bases orthonormées
Définition. Une base ( e 1 , … , e n ) (e_1, \ldots, e_n) ( e 1 , … , e n ) orthonormée (BON) si ⟨ e i , e j ⟩ = δ i j \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} ⟨ e i , e j ⟩ = δ ij
Dans une BON : ⟨ x , y ⟩ = ∑ i = 1 n x i y i \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i ⟨ x , y ⟩ = ∑ i = 1 n x i y i
Procede de Gram-Schmidt
Théorème. De toute famille libre , on peut construire une famille orthonormée engendrant le même sous-espace , par le procédé :
e ~ k = e k − ∑ i = 1 k − 1 ⟨ e k , e ~ i ⟩ e ~ i , puis e ^ k = e ~ k ∥ e ~ k ∥ \tilde{e}_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle e_k, \tilde{e}_i \rangle \tilde{e}_i, \quad \text{puis } \hat{e}_k = \frac{\tilde{e}_k}{\|\tilde{e}_k\|} e ~ k = e k − i = 1 ∑ k − 1 ⟨ e k , e ~ i ⟩ e ~ i , puis e ^ k = ∥ e ~ k ∥ e ~ k
Après la lecture
L'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien s'écrit :
A ⟨ x , y ⟩ ≤ ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 \langle x, y \rangle \leq \|x\|^2 + \|y\|^2 ⟨ x , y ⟩ ≤ ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 B ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ C ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ D ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 ∥ x + y ∥ 2 = ∥ x ∥ 2 + ∥ y ∥ 2 Cauchy-Schwarz :
∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\| ∣ ⟨ x , y ⟩ ∣ ≤ ∥ x ∥ ⋅ ∥ y ∥ avec égalité ssi
x x x et
y y y sont colinéaires. L'option B est l'inégalité triangulaire (conséquence de CS). L'option D est le théorème de Pythagore (valable ssi
x ⊥ y x \perp y x ⊥ y ).
Après la lecture
Le procédé de Gram-Schmidt permet de :
A construire une famille orthonormée à partir d'une famille libre B trouver les valeurs propres d'un endomorphisme C diagonaliser une matrice D calculer un déterminant
Gram-Schmidt orthonormalise une famille libre
( e 1 , … , e n ) (e_1, \ldots, e_n) ( e 1 , … , e n ) en une famille orthonormée
( ε 1 , … , ε n ) (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n) ( ε 1 , … , ε n ) engendrant le même sous-espace. On pose
ε k = e k − ∑ j < k ⟨ e k , ε j ⟩ ε j ∥ ⋯ ∥ \varepsilon_k = \frac{e_k - \sum_{j<k}\langle e_k, \varepsilon_j\rangle \varepsilon_j}{\|\cdots\|} ε k = ∥ ⋯ ∥ e k − ∑ j < k ⟨ e k , ε j ⟩ ε j .
