Avant de lire
Soit
f:R3→R2 linéaire. Si
f est surjective, alors
dim(kerf)= ?
Avant de lire
Soit
f∈L(E) avec
dimE=n fini. Lesquelles de ces assertions sont équivalentes ?
Définition
Définition. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f:E→F est linéaire si :
∀x,y∈E,∀λ∈K,f(λx+y)=λf(x)+f(y)
Cas particuliers :
- Endomorphisme : f:E→E linéaire
- Isomorphisme : f linéaire bijective
- Forme linéaire : f:E→K linéaire
Noyau et image
Définition.
- kerf={x∈E∣f(x)=0F} (noyau)
- Im f={f(x)∣x∈E} (image)
Le noyau et l'image sont des sous-espaces vectoriels.
- f injective ⟺kerf={0}
- f surjective ⟺Im f=F
Pause : vérifie
Si
f et
g sont deux endomorphismes de
E tels que
f∘g=0, alors :
Si
f∘g=0, alors pour tout
x,
f(g(x))=0, donc
g(x)∈ker(f). Ainsi
Im(g)⊂ker(f).
Théorème. Pour f:E→F linéaire avec dimE<+∞ :
dimE=dim(kerf)+dim(Im f) rg(f)=dim(Im f) est le rang de f.
Après la lecture
Soit
f:R3→R2 linéaire. Si
f est surjective, alors
dim(kerf)= ?
Par le théorème du rang :
dim(kerf)=dimE−rg(f)=3−2=1 car
f surjective implique
rg(f)=dimR2=2.
Après la lecture
Soit
f∈L(E) avec
dimE=n fini. Lesquelles de ces assertions sont équivalentes ?
En dimension finie, pour un endomorphisme : injectif
⟺ surjectif
⟺ bijectif. C'est une conséquence du théorème du rang :
rg(f)=n⟺kerf={0}.
