Applications linéaires

Définition

Définition. Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$$\forall x, y \in E, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \quad f(\lambda x + y) = \lambda f(x) + f(y)$$

Cas particuliers :

• Endomorphisme : $f: E \to E$ linéaire
• Isomorphisme : $f$ linéaire bijective
• Forme linéaire : $f: E \to \mathbb{K}$ linéaire

Noyau et image

Définition.

- $\ker f = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\}$ (noyau)

- $\text{Im } f = \{f(x) \mid x \in E\}$ (image)

Le noyau et l'image sont des sous-espaces vectoriels.

• $f$ injective $\iff \ker f = \{0\}$
• $f$ surjective $\iff \text{Im } f = F$

Théorème du rang

Théorème. Pour $f: E \to F$ linéaire avec $\dim E < +\infty$ :

$$\boxed{\dim E = \dim(\ker f) + \dim(\text{Im } f)}$$

$\text{rg}(f) = \dim(\text{Im } f)$ est le rang de $f$.