Définition. Un espace probabilise est un triplet (Ω,A,P) ou :
- Ω est l'univers (ensemble des issues)
- A est une tribu (ensemble d'événements)
- P:A→[0,1] est une mesure de probabilité
Propriétés de P
P(Ω)=1 et P(∅)=0
P(Aˉ)=1−P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Pause : vérifie
Pour deux événements A et B quelconques, P(A∪B)= ?
Additionner P(A) et P(B) compte deux fois les issues communes aux deux événements : il faut retrancher P(A∩B) une fois. La somme simple n'est juste que pour des événements incompatibles, ajouter l'intersection la compte trois fois, et le produit concerne l'intersection d'événements indépendants, pas l'union.
Probabilités conditionnelles
Définition. La probabilité de AB est :
P(A∣B)=P(B)P(A∩B)si P(B)>0
Théorème. Si (Bi) est un d'événements :
P(Bk∣A)=∑iP(A∣Bi)⋅P(Bi)P(A∣Bk)⋅P(Bk)
Définition.A et B sont indépendants si P(A∩B)=P(A)⋅P(B).
Après la lecture
Soit P(B)>0. La probabilité de A sachant B est :
Conditionner par B, c'est prendre B pour nouvel univers : on ne garde de A que sa part dans B, rapportée à la probabilité de B. Diviser par P(A) donne P(B∣A), le quotient P(A)/P(B) peut dépasser 1, et P(A)⋅P(B) est la probabilité de A∩B quand A et B sont indépendants.
Après la lecture
Deux événements A et B sont indépendants si :
Indépendants : la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, ce qui s'écrit P(A∩B)=P(A)P(B). Des événements incompatibles (A∩B=∅) sont au contraire très dépendants dès que P(A)P(B)>0 : si l'un a lieu, l'autre est impossible. Avoir la même probabilité ne dit rien de l'indépendance, et sachant B c'est la probabilité de A qui doit rester inchangée : P(A∣B)=P(A), pas P(B).
