Espaces probabilisés

Espace probabilise

Définition. Un espace probabilise est un triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ou :

- $\Omega$ est l'univers (ensemble des issues)

- $\mathcal{A}$ est une tribu (ensemble d'événements)

- $P: \mathcal{A} \to [0,1]$ est une mesure de probabilité

Propriétés de $P$

• $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Probabilités conditionnelles

Définition. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :

$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{si } P(B) > 0$$

Formule de Bayes

Théorème. Si $(B_i)$ est un système complet d'événements :

$$P(B_k | A) = \frac{P(A | B_k) \cdot P(B_k)}{\sum_{i} P(A | B_i) \cdot P(B_i)}$$

Indépendance

Définition. $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.