Loi conjointe et lois marginales

Couple de variables aléatoires

Définition. Un couple $(X, Y)$ de variables aléatoires discrètes est défini par sa loi conjointe :

$$P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij} \quad \text{pour tout } (i, j)$$

Le tableau a double entree des $p_{ij}$ est le tableau de loi conjointe.

Lois marginales

Définition. Les lois marginales se deduisent de la loi conjointe :

$$P(X = x_i) = \sum_j p_{ij}, \qquad P(Y = y_j) = \sum_i p_{ij}$$

Ce sont les sommes en ligne et en colonne du tableau.

Attention. La loi conjointe détermine les lois marginales, mais la réciproque est fausse en général.

Indépendance

Définition. $X$ et $Y$ sont indépendantes ssi :

$$\forall (i, j), \quad P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$$

Équivalemment : $p_{ij} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$ pour tout $(i,j)$.

Covariance

Définition. $\operatorname{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] E[Y]$.

• Si $X, Y$ indépendantes : $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$ (réciproque fausse)
• $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$

Coefficient de correlation

$|\rho| = 1$ ssi il existe une relation affine entre $X$ et $Y$.