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Cours Probabilités Couples et vecteurs aléatoiresLoi conjointe et lois marginales

Loi conjointe et lois marginales

Moyen 30 minGratuit

Couples de variables aléatoires — Loi conjointe

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Couples de variables aléatoires — Loi conjointe

5:00

Avant de lire

La loi conjointe de

(X, Y)

détermine :

Avant de lire

Deux variables aléatoires

X

Y

sont indépendantes si et seulement si :

Couple de variables aléatoires

Définition. Un couple $(X, Y)$ de variables aléatoires discrètes est défini par sa loi conjointe :
$P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij} \quad \text{pour tout } (i, j)$

Le tableau a double entree des $p_{ij}$ est le tableau de loi conjointe.

Lois marginales

Définition. Les lois marginales se deduisent de la loi conjointe :
$P(X = x_i) = \sum_j p_{ij}, \qquad P(Y = y_j) = \sum_i p_{ij}$

Ce sont les sommes en ligne et en colonne du tableau.

Attention. La loi conjointe détermine les lois marginales, mais la réciproque est fausse en général.

Pause : vérifie

Pour

(X, Y)

de densité jointe

f_{X,Y}

, la densité marginale de

X

est :

Indépendance

Définition. $X$ et $Y$ sont ssi :
$\forall (i, j), \quad P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$

Équivalemment : $p_{ij} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$ pour tout $(i,j)$ .

Covariance

Définition. $\operatorname{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] E[Y]$ .

Si $X, Y$ indépendantes : $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$ (réciproque fausse)
$\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$

Pause : vérifie

La covariance de

X

Y

est définie par :

Coefficient de correlation

\rho(X,Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]

$|\rho| = 1$ ssi il existe une relation affine entre $X$ et $Y$ .

Après la lecture

La loi conjointe de

(X, Y)

détermine :

Après la lecture

Deux variables aléatoires

X

Y

sont indépendantes si et seulement si :

Illustrations

Somme des lignes → loi marginale de X ; somme des colonnes → loi de Y

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Couples de variables aléatoires — Loi conjointe

5:00

Avant de lire

La loi conjointe de

(X, Y)

détermine :

Avant de lire

Deux variables aléatoires

X

Y

sont indépendantes si et seulement si :

Couple de variables aléatoires

Définition. Un couple $(X, Y)$ de variables aléatoires discrètes est défini par sa loi conjointe :
$P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij} \quad \text{pour tout } (i, j)$

Le tableau a double entree des $p_{ij}$ est le tableau de loi conjointe.

Lois marginales

Définition. Les lois marginales se deduisent de la loi conjointe :
$P(X = x_i) = \sum_j p_{ij}, \qquad P(Y = y_j) = \sum_i p_{ij}$

Ce sont les sommes en ligne et en colonne du tableau.

Attention. La loi conjointe détermine les lois marginales, mais la réciproque est fausse en général.

Pause : vérifie

Pour

(X, Y)

de densité jointe

f_{X,Y}

, la densité marginale de

X

est :

Indépendance

Définition. $X$ et $Y$ sont ssi :
$\forall (i, j), \quad P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) \cdot P(Y = y_j)$

Équivalemment : $p_{ij} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$ pour tout $(i,j)$ .

Covariance

Définition. $\operatorname{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X] E[Y]$ .

Si $X, Y$ indépendantes : $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$ (réciproque fausse)
$\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$

Pause : vérifie

La covariance de

X

Y

est définie par :

Coefficient de correlation

\rho(X,Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]

$|\rho| = 1$ ssi il existe une relation affine entre $X$ et $Y$ .

Après la lecture

La loi conjointe de

(X, Y)

détermine :

Après la lecture

Deux variables aléatoires

X

Y

sont indépendantes si et seulement si :

Illustrations

Somme des lignes → loi marginale de X ; somme des colonnes → loi de Y