Modes de convergence

Convergence en probabilité

Définition. $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ si :

$$\forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} P(|X_n - X| \geq \varepsilon) = 0$$

On note $X_n \xrightarrow{P} X$.

Convergence presque sure

Définition. $(X_n)$ converge presque surement vers $X$ si :

$$P\left( \lim_{n \to +\infty} X_n = X \right) = 1$$

On note $X_n \xrightarrow{p.s.} X$.

Convergence en loi

Définition. $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si pour toute fonction continue bornée $f$ :

$$\lim_{n \to +\infty} E[f(X_n)] = E[f(X)]$$

On note $X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X$.

Équivalemment, $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point de continuité de $F_X$.

Implications

Aucune réciproque n'est vraie en général.

Cas particulier. Convergence en loi vers une constante $c$ $\iff$ convergence en probabilité vers $c$.

Convergence en moyenne d'ordre $p$

Définition. $X_n \xrightarrow{L^p} X$ si $E[|X_n - X|^p] \to 0$.