Définition.(Xn) converge en probabilité vers X si :
∀ε>0,n→+∞limP(∣Xn−X∣≥ε)=0
On note XnPX.
Convergence presque sure
Définition.(Xn) converge presque surement vers X si :
P(n→+∞limXn=X)=1
On note Xnp.s.X.
Convergence en loi
Définition.(Xn) converge en loi vers X si pour toute fonction continue f :
n→+∞limE[f(Xn)]=E[f(X)]
On note XnLX.
Équivalemment, FXn(x)→FX(x) en tout point de continuité de FX.
Implications
p.s.⇒en probabilite⇒en loi
Aucune réciproque n'est vraie en général.
Cas particulier. Convergence en loi vers une constantec⟺ convergence en probabilité vers c.
Pause : vérifie
Entre les modes de convergence, la hiérarchie correcte est :
La hiérarchie est : CV p.s. ⇒ CV en proba ⇒ CV en loi. De plus, CV Lp⇒ CV en proba. Les réciproques sont fausses en général. Exception : CV en loi vers une constante implique CV en proba.
Convergence en d'ordre p
Définition.XnLpX si E[∣Xn−X∣p]→0.
Lp⇒en probabilite
Après la lecture
La convergence presque sûre Xnp.s.X signifie :
La convergence p.s. signifie que l'ensemble des ω où la suite numérique Xn(ω) converge vers X(ω) est de probabilité 1. L'option B est la convergence L1, l'option C est la convergence en probabilité.
Après la lecture
La convergence en probabilité XnPX signifie :
La convergence en probabilité est plus faible que la convergence p.s. : on demande seulement que P(∣Xn−X∣≥ε)→0 pour tout ε>0, sans exiger que ce soit le même ensemble de mesure pleine pour tous les ε.
Illustrations
p.s. ⟹ en probabilité ⟹ en loi (implications strictes)
