Surfaces paramétrées et plans tangents

Définition

Définition. Une surface paramétrée est une application $\Sigma : U \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $(u, v) \mapsto (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$.

Le support est l'image $\Sigma(U) \subset \mathbb{R}^3$.

Plan tangent

Si $\Sigma$ est de classe $C^1$ en $(u_0, v_0)$, les vecteurs :

engendrent le plan tangent en $M_0 = \Sigma(u_0, v_0)$, a condition que $\Sigma_u \wedge \Sigma_v \neq \vec{0}$ (point régulier).

Le vecteur normal est $\vec{n} = \Sigma_u \wedge \Sigma_v$.

Équation du plan tangent : $(\vec{r} - \vec{r_0}) \cdot \vec{n} = 0$.

Surface définie implicitement

Si $S = \{(x,y,z) : F(x,y,z) = 0\}$ avec $\nabla F \neq 0$ en un point, le plan tangent en $M_0$ est :

soit $F_x(x_0)(x - x_0) + F_y(y_0)(y - y_0) + F_z(z_0)(z - z_0) = 0$.

Exemples de surfaces

• Sphère : $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, paramétrage $(R\cos\theta\cos\phi, R\cos\theta\sin\phi, R\sin\theta)$
• Cylindre : $x^2 + y^2 = R^2$
• Cône : $z^2 = x^2 + y^2$
• Tore : $(\sqrt{x^2+y^2} - R)^2 + z^2 = r^2$