Produit scalaire et espaces euclidiens

Produit scalaire

Définition. Un produit scalaire sur un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire $\langle \cdot, \cdot \rangle: E \times E \to \mathbb{R}$ qui est :

1. Symétrique : $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$

2. Définie positive : $\langle x, x \rangle > 0$ pour $x \neq 0$

Un espace vectoriel muni d'un produit scalaire est un espace euclidien (en dimension finie).

Norme euclidienne

Propriétés :

• $\|x\| \geq 0$ avec égalité ssi $x = 0$
• $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|$
• Inégalité triangulaire : $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$

Identités de polarisation

Angle entre deux vecteurs

Orthogonalité

Définition. $x$ et $y$ sont orthogonaux si $\langle x, y \rangle = 0$, noté $x \perp y$.

Théorème de Pythagore. Si $x \perp y$, alors $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$.