Géométrie euclidienne — Produit scalaire et orthogonalité
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Le produit scalaire dans Rn canonique est défini par :
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Dans un espace euclidien, si x⊥y, le théorème de Pythagore donne :
Produit scalaire
Définition. Un produit scalaire sur un R-espace vectoriel E est une forme bilinéaire ⟨⋅,⋅⟩:E×E→R qui est :
1. : ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩
2. Définie positive : ⟨x,x⟩>0 pour x=0
Un muni d'un produit scalaire est un espace euclidien (en dimension finie).
∥x∥=⟨x,x⟩
Propriétés :
∥x∥≥0 avec égalité ssi x=0
∥λx∥=∣λ∣∥x∥
:∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥⋅∥y∥
Inégalité triangulaire :∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥
Identités de polarisation
⟨x,y⟩=21(∥x+y∥2−∥x∥2−∥y∥2)
⟨x,y⟩=41(∥x+y∥2−∥x−y∥2)
Angle entre deux vecteurs
cos(θ)=∥u∥⋅∥v∥⟨u,v⟩
Pause : vérifie
L'angle θ entre deux vecteurs non nuls u et v vérifie cos(θ)= ?
Le produit scalaire vaut ∥u∥∥v∥cosθ : diviser par les deux normes isole le cosinus, et Cauchy-Schwarz garantit un résultat dans [−1,1]. Avec les normes au carré ou sans normalisation, le quotient n'est plus borné par 1 ; le quotient inversé n'est même pas défini pour des vecteurs orthogonaux.
Définition.x et y sont orthogonaux si ⟨x,y⟩=0, noté x⊥y.
Théorème de Pythagore. Si x⊥y, alors ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2.
Après la lecture
Le produit scalaire dans Rn canonique est défini par :
Le produit scalaire canonique de Rn est ⟨x,y⟩=∑xiyi=xTy. Il est bilinéaire, symétrique et défini positif.
Après la lecture
Dans un espace euclidien, si x⊥y, le théorème de Pythagore donne :
En développant ∥x+y∥2=∥x∥2+2⟨x,y⟩+∥y∥2, l'orthogonalité annule le double produit : il reste la somme des carrés. Sans les carrés l'égalité est fausse (2=2 pour deux vecteurs unitaires orthogonaux), ⟨x,y⟩=∥x∥∥y∥ caractérise des vecteurs colinéaires de même sens, et un signe − n'apparaît nulle part.
Illustrations
Espace euclidien : espace vectoriel muni d'un produit scalaire
