Le barycentre de (A,2) et (B,3) divise le segment [AB] dans le rapport :
Avant de lire
Un sous-espace affine de R3 de dimension 2 est :
Espaces affines
Définition
Définition. Un espace affine de direction E est un ensemble E muni d'une action simplement transitive de (E,+) sur E. Pour tous A,B∈E, il existe un unique u∈E tel que B=A+u, noté AB.
Propriétés :
AB+BC=AC (relation de Chasles)
AA=0
AB=−BA
Sous-espaces affines
Définition. Un sous-espace affine est un ensemble de la forme F=A+F ou A∈E et F est un de E.
F est la direction de F, et dimF=dimF.
Dimension
Nom
0
Point
1
Droite
2
Plan
n−1
Hyperplan
Barycentres
Définition. Le barycentre de (A1,α1),…,(An,αn) avec ∑αi=0 est l'unique point G tel que :
i=1∑nαiGAi=0
Formule : OG=∑αi∑αiOAi pour tout point O.
Pause : vérifie
L'ensemble des barycentres G=bar((A,λ),(B,1−λ)) pour λ∈R est :
Quand λ parcourt R, G=A+(1−λ)AB décrit toute la droite (AB). Le segment [AB] correspondrait à λ∈[0,1].
Propriété d'associativite
Le barycentre est associatif : on peut regrouper les points et ponderer par la somme des coefficients.
Centre de gravite d'un triangle
G=bar((A,1),(B,1),(C,1)) vérifie OG=3OA+OB+OC.
Après la lecture
Le barycentre de (A,2) et (B,3) divise le segment [AB] dans le rapport :
Le barycentre G de (A,2) et (B,3) vérifie AG=53AB. Donc AG/GB=3/2. G est plus proche de B car le coefficient de B est plus grand.
Après la lecture
Un sous-espace affine de R3 de dimension 2 est :
En dimension 3 : les sous-espaces affines sont les points (dim 0), les droites (dim 1), les plans (dim 2) et R3 lui-même (dim 3).
Illustrations
Un espace affine est un ensemble de points muni de translationsG = (A + 2B)/3 — barycentre pondéré
