Espaces affines

Définition

Définition. Un espace affine de direction $\vec{E}$ est un ensemble $\mathcal{E}$ muni d'une action simplement transitive de $(\vec{E}, +)$ sur $\mathcal{E}$. Pour tous $A, B \in \mathcal{E}$, il existe un unique $\vec{u} \in \vec{E}$ tel que $B = A + \vec{u}$, noté $\overrightarrow{AB}$.

Propriétés :

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (relation de Chasles)
• $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$
• $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$

Sous-espaces affines

Définition. Un sous-espace affine est un ensemble de la forme $\mathcal{F} = A + \vec{F}$ ou $A \in \mathcal{E}$ et $\vec{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\vec{E}$.

$\vec{F}$ est la direction de $\mathcal{F}$, et $\dim \mathcal{F} = \dim \vec{F}$.

| Dimension | Nom | |-----------|-----| | 0 | Point | | 1 | Droite | | 2 | Plan | | $n-1$ | Hyperplan |

Barycentres

Définition. Le barycentre de $(A_1, \alpha_1), \ldots, (A_n, \alpha_n)$ avec $\sum \alpha_i \neq 0$ est l'unique point $G$ tel que :

$$\sum_{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}$$

Formule : $\overrightarrow{OG} = \frac{\sum \alpha_i \overrightarrow{OA_i}}{\sum \alpha_i}$ pour tout point $O$.

Propriété d'associativite

Le barycentre est associatif : on peut regrouper les points et ponderer par la somme des coefficients.

Centre de gravite d'un triangle

$G = \text{bar}((A,1), (B,1), (C,1))$ vérifie $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}$.