Soit γ:t↦(x(t),y(t)) dérivable en t0 avec γ′(t0)=(0,0). La tangente à la courbe en M0=γ(t0) est la droite passant par M0 et dirigée par :
Avant de lire
Le paramètre t0 est un point régulier de la courbe γ si et seulement si :
Courbes planes paramétrées
Définition
Définition. Une courbe paramétrée plane est une application γ:I→R2, t↦(x(t),y(t)) ou I est un intervalle de R.
Le support (ou trace) est Γ=γ(I)={(x(t),y(t)):t∈I}.
Tangente
Définition. Si γ est t0 et γ′(t0)=(0,0), la tangente a la courbe en M0=γ(t0) est la droite passant par M0 de vecteur directeur γ′(t0)=(x′(t0),y′(t0)).
Définition.t0 est un point régulier si γ′(t0)=(0,0). Sinon, c'est un point singulier (ou stationnaire).
En un point singulier, on cherche le premier k tel que γ(k)(t0)=(0,0) : le vecteur γ(k)(t0) donne la direction de la tangente.
Pause : vérifie
En un point singulier, où γ′(t0)=(0,0), la direction de la tangente est donnée par :
Quand la vitesse s'annule, on développe γ(t)−γ(t0) à un ordre supérieur : le premier terme non nul, k!(t−t0)kγ(k)(t0), donne la direction limite des cordes. La tangente existe donc bien dès qu'un tel k existe ; γ′′(t0) n'est le bon vecteur que si elle-même est non nulle (k=2), et un point n'est pas une direction.
Reductions de l'étude
Symétries et periodicites : Si γ(−t)=γ(t) (courbe par rapport a Ox), on étudie pour t≥0. Si γ(t+T)=γ(t), on se restreint a une période.
Plan d'étude systematique :
Domaine de définition, périodicité, symétries
Tableau de variations de x(t) et y(t)
Tangentes aux points remarquables (extrema, points singuliers)
Branches infinies
Trace de la courbe
Après la lecture
Soit γ:t↦(x(t),y(t)) dérivable en t0 avec γ′(t0)=(0,0). La tangente à la courbe en M0=γ(t0) est la droite passant par M0 et dirigée par :
La tangente est la position limite des cordes M0M(t) quand t→t0, et t−t0γ(t)−γ(t0)→γ′(t0) : c'est le vecteur vitesse qui la dirige. γ(t0) est un point, pas une direction ; (−y′,x′) est orthogonal à la vitesse et dirige la normale ; l'accélération n'intervient qu'en un point singulier, quand la vitesse s'annule.
Après la lecture
Le paramètre t0 est un point régulier de la courbe γ si et seulement si :
Régulier signifie que le vecteur vitesse n'est pas nul : au moins une de ses deux composantes est non nulle, ce qui suffit à définir la tangente. Que le point γ(t0) soit l'origine ou non n'a aucun rapport, exiger les deux composantes non nulles exclurait à tort les tangentes horizontales et verticales, et la dérivée seconde ne sert qu'aux points singuliers.
