Courbes planes paramétrées
Définition
Définition. Une courbe paramétrée plane est une application γ : I → R 2 \gamma : I \to \mathbb{R}^2 γ : I → R 2 t ↦ ( x ( t ) , y ( t ) ) t \mapsto (x(t), y(t)) t ↦ ( x ( t ) , y ( t )) I I I R \mathbb{R} R
Le support (ou trace) est Γ = γ ( I ) = { ( x ( t ) , y ( t ) ) : t ∈ I } \Gamma = \gamma(I) = \{(x(t), y(t)) : t \in I\} Γ = γ ( I ) = {( x ( t ) , y ( t )) : t ∈ I }
Tangente
Définition. Si γ \gamma γ dérivable en t 0 t_0 t 0 γ ′ ( t 0 ) ≠ ( 0 , 0 ) \gamma'(t_0) \neq (0,0) γ ′ ( t 0 ) = ( 0 , 0 ) tangente a la courbe en M 0 = γ ( t 0 ) M_0 = \gamma(t_0) M 0 = γ ( t 0 ) M 0 M_0 M 0 γ ′ ( t 0 ) = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) ) \gamma'(t_0) = (x'(t_0), y'(t_0)) γ ′ ( t 0 ) = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ))
Équation paramétrique : { M 0 + s γ ′ ( t 0 ) : s ∈ R } \{M_0 + s \gamma'(t_0) : s \in \mathbb{R}\} { M 0 + s γ ′ ( t 0 ) : s ∈ R }
Équation cartesienne : y ′ ( t 0 ) ( X − x 0 ) − x ′ ( t 0 ) ( Y − y 0 ) = 0 y'(t_0)(X - x_0) - x'(t_0)(Y - y_0) = 0 y ′ ( t 0 ) ( X − x 0 ) − x ′ ( t 0 ) ( Y − y 0 ) = 0
Point régulier et point singulier
Définition. t 0 t_0 t 0 point régulier si γ ′ ( t 0 ) ≠ ( 0 , 0 ) \gamma'(t_0) \neq (0,0) γ ′ ( t 0 ) = ( 0 , 0 ) point singulier (ou stationnaire).
En un point singulier, on cherche le premier k k k γ ( k ) ( t 0 ) ≠ ( 0 , 0 ) \gamma^{(k)}(t_0) \neq (0,0) γ ( k ) ( t 0 ) = ( 0 , 0 ) γ ( k ) ( t 0 ) \gamma^{(k)}(t_0) γ ( k ) ( t 0 )
Reductions de l'étude Symétries et periodicites : Si γ ( − t ) = γ ( t ) \gamma(-t) = \gamma(t) γ ( − t ) = γ ( t ) symétrique par rapport a O x Ox O x t ≥ 0 t \geq 0 t ≥ 0 γ ( t + T ) = γ ( t ) \gamma(t + T) = \gamma(t) γ ( t + T ) = γ ( t )
Plan d'étude systematique :
Domaine de définition, périodicité, symétries
Tableau de variations de x ( t ) x(t) x ( t ) y ( t ) y(t) y ( t )
Tangentes aux points remarquables (extrema, points singuliers)
Branches infinies
Trace de la courbe
