Équations réduites des coniques

Définition générale

Définition. Une conique est l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant $\frac{MF}{MH} = e$ ou $F$ est un point (foyer), $H$ est la projection de $M$ sur une droite $\mathcal{D}$ (directrice), et $e > 0$ (excentricité).

Ellipse ($0 < e < 1$)

Équation réduite. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a > b > 0$.

• Demi-grand axe $a$, demi-petit axe $b$
• Distance focale : $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, foyers $F_1(-c, 0)$ et $F_2(c, 0)$
• Excentricité : $e = c/a \in ]0, 1[$
• Directrices : $x = \pm a/e$
• Définition bifocale : $MF_1 + MF_2 = 2a$ pour tout $M \in \mathcal{E}$

Paramétrage : $M(t) = (a\cos t, b\sin t)$, $t \in [0, 2\pi[$.

Aire : $\mathcal{A} = \pi a b$.

Hyperbole ($e > 1$)

Équation réduite. $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.

• $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, foyers $F_1(-c, 0)$, $F_2(c, 0)$
• $e = c/a > 1$
• Définition bifocale : $|MF_1 - MF_2| = 2a$
• Asymptotes : $y = \pm \frac{b}{a} x$
• Paramétrage : $M(t) = (a\cosh t, b\sinh t)$ (branche droite)

Parabole ($e = 1$)

Équation réduite. $y^2 = 4px$ ($p > 0$ paramètre).

• Foyer $F(p, 0)$, directrice $x = -p$
• Définition : $MF = d(M, \mathcal{D})$ pour tout $M$ sur la parabole
• Paramétrage : $M(t) = (t^2/(4p),\, t)$ ou $M(t) = (pt^2, 2pt)$