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Avant de lire
La suite (un) est dite bornée si et seulement si :
Avant de lire
La suite (un) est croissante si et seulement si :
Définition
Une suite numérique est une application de N (ou d'une partie de N) dans R (ou C).
On note (un)n∈N ou simplement (un).
Astuce. Tap sur les termes _soulignés en pointillés_ : un panneau s'ouvre avec l'énoncé exact, sans quitter la page. Essaye sur les liens ci-dessous.
Suites bornées
Définition. La suite (un) est dite s'il existe M≥0 tel que :
∀n∈N,∣un∣≤M
Plus tard, on verra que toute suite est nécessairement (voir ), et que de toute on peut extraire une convergente — c'est le théorème de .
Monotonie
Définition. La suite (un) est dite croissante si :
∀n∈N,un+1≥un
Définition. La suite (un) est dite strictement croissante si :
∀n∈N,un+1>un
Exemples fondamentaux
Suite arithmetique
un=u0+n⋅ravec r∈R
Suite géométrique
un=u0⋅qnavec q∈R
Pour ∣q∣<1, la suite géométrique converge vers 0.
Pause : vérifie
Soit u0=0. La suite géométrique un=u0⋅qn converge vers 0 si et seulement si :
C'est le module de la raison qui décide : pour ∣q∣<1, qn→0. Avec q=−2 on a bien q<1 et pourtant ∣un∣→+∞ ; avec q=−1/2 la suite converge vers 0 bien que q<0 ; et pour q=1 la suite est constante, égale à u0=0.
Suite harmonique
Hn=k=1∑nk1
La suite harmonique diverge vers +∞.
Après la lecture
La suite (un) est dite bornée si et seulement si :
Bornée signifie majorée et minorée à la fois, ce que résume ∣un∣≤M. La convergence est une propriété plus forte, la majoration seule est plus faible, et borner les écarts ∣un+1−un∣ ne borne pas les termes : un=n a des écarts égaux à 1 et tend vers +∞.
Après la lecture
La suite (un) est croissante si et seulement si :
Croissante : chaque terme est au moins égal au précédent, un+1≥un. L'inégalité stricte définit la croissance stricte ; comparer seulement à u0 ou à 0 ne dit rien de l'ordre entre deux termes consécutifs.
Illustrations
Représentation graphique d'une suite numériqueTermes d'une suite sur la droite réelle