Introduction aux suites

Définition

Une suite numérique est une application de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$).

On note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.

Astuce. Tap sur les termes _soulignés en pointillés_ : un panneau s'ouvre avec l'énoncé exact, sans quitter la page. Essaye sur les liens ci-dessous.

Suites bornées

Définition. La suite $(u_n)$ est dite bornée s'il existe $M \geq 0$ tel que :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \quad |u_n| \leq M$$

Plus tard, on verra que toute suite convergente est nécessairement bornée (voir Toute suite convergente est bornée), et que de toute suite bornée on peut extraire une Sous-suite (suite extraite) convergente — c'est le théorème de Théorème de Bolzano-Weierstrass.

Monotonie

Définition. La suite $(u_n)$ est dite croissante si :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} \geq u_n$$

Définition. La suite $(u_n)$ est dite strictement croissante si :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} > u_n$$

Exemples fondamentaux

Suite arithmetique

Suite géométrique

Pour $|q| < 1$, la suite géométrique converge vers $0$.

Suite harmonique

La suite harmonique diverge vers $+\infty$.