Avant de lire
La série
∑n21 est :
Avant de lire
∑n=0+∞2n1 vaut :
Définition
Définition. Soit (un) une suite. On appelle série de terme général un la suite des sommes partielles :
Sn=k=0∑nuk
La série ∑un converge si la suite (Sn) converge. Sa somme est ∑n=0+∞un=limn→+∞Sn.
Condition nécessaire de convergence
Théorème. Si ∑un converge, alors un→0.
Attention : La réciproque est fausse ! (∑n1 diverge)
Pause : vérifie
Si
un→0, peut-on conclure que
∑un converge ?
un→0 est nécessaire (sinon la série diverge grossièrement) mais pas suffisant. Contre-exemple : la série harmonique
∑1/n diverge bien que
1/n→0.
Séries de reference
Série géométrique
n=0∑+∞qn=1−q1si ∣q∣<1 Série de Riemann
n=1∑+∞nα1 converge⟺α>1 Série exponentielle
n=0∑+∞n!xn=ex∀x∈R Critères de convergence
Comparaison
Si 0≤un≤vn et ∑vn converge, alors ∑un converge.
Critère de
Si limunun+1=ℓ avec un>0:
- ℓ<1 : la série converge
- ℓ>1 : la série diverge
- ℓ=1 : on ne peut pas conclure
Après la lecture
La série
∑n21 est :
C'est une série de Riemann
∑1/nα avec
α=2>1, donc convergente. Sa somme vaut
π2/6.
Après la lecture
∑n=0+∞2n1 vaut :
Série géométrique de raison
q=1/2 :
∑qn=1−q1=1−1/21=2.