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Cours Analyse Séries numériquesIntroduction aux séries

Introduction aux séries

Facile 25 minGratuit

Vidéo du chapitre · Séries numériques

Séries numériques — Critères de convergence

Critères de d'Alembert, Cauchy, comparaison, et séries alternées.

5:00YouTube

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Définition

Définition. Soit $(u_n)$ une suite. On appelle série de terme général $u_n$ la suite des sommes partielles :
$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$

La série $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ converge. Sa somme est $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} S_n$ .

Condition nécessaire de convergence

Théorème. Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ .

Attention : La réciproque est fausse ! ( $\sum \frac{1}{n}$ diverge)

Séries de reference

Série géométrique

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \quad \text{si } |q| < 1

Série de Riemann

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1

Série exponentielle

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}

Critères de convergence

Comparaison

Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

Critère de

Si $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$ avec $u_n > 0$ :

$\ell < 1$ : la série converge
$\ell > 1$ : la série diverge
$\ell = 1$ : on ne peut pas conclure

Illustrations

Sommes partielles Sₙ de la série harmonique

Sommes partielles convergentes vers 2

Cours Analyse Séries numériquesIntroduction aux séries

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Séries numériques — Critères de convergence

Critères de d'Alembert, Cauchy, comparaison, et séries alternées.

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Définition

Définition. Soit $(u_n)$ une suite. On appelle série de terme général $u_n$ la suite des sommes partielles :
$S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$

La série $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ converge. Sa somme est $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} S_n$ .

Condition nécessaire de convergence

Théorème. Si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ .

Attention : La réciproque est fausse ! ( $\sum \frac{1}{n}$ diverge)

Séries de reference

Série géométrique

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \quad \text{si } |q| < 1

Série de Riemann

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \text{ converge} \iff \alpha > 1

Série exponentielle

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}

Critères de convergence

Comparaison

Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

Critère de

Si $\lim \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$ avec $u_n > 0$ :

$\ell < 1$ : la série converge
$\ell > 1$ : la série diverge
$\ell = 1$ : on ne peut pas conclure

Illustrations

Sommes partielles Sₙ de la série harmonique

Sommes partielles convergentes vers 2

Introduction aux séries

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Définition

Condition nécessaire de convergence

Séries de reference

Série géométrique

Série de Riemann

Série exponentielle

Critères de convergence

Comparaison

Critère de d'Alembert

Illustrations

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Définition

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Séries de reference

Série géométrique

Série de Riemann

Série exponentielle

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Comparaison

Critère de d'Alembert

Illustrations

Critère de

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