Avant de lire
L'intégrale de Riemann
∫1+∞tαdt converge si et seulement si :
Avant de lire
L'intégrale
∫01tαdt (Riemann en
0) converge si et seulement si :
Intégrales impropres
Définition
Définition. Soit f:[a,b[→R continue (ou b=+∞). L' ∫abf(t)dt est définie comme :
∫abf(t)dt=x→b−lim∫axf(t)dt si cette existe et est finie. On dit alors que l' converge.
Types de singularités
Borne infinie : ∫a+∞f(t)dt
Singularité en un point : ∫abf(t)dt ou f n'est pas au voisinage de bOn peut combiner les deux en decoupant l'.
Intégrales de reference
Intégrales de Riemann
∫1+∞tαdtconverge⟺α>1 ∫01tαdtconverge⟺α<1 Intégrales exponentielles
∫0+∞e−αtdt=α1pour α>0 Convergence absolue
Définition. L' ∫abf(t)dt est si ∫ab∣f(t)∣dt converge.
Théorème. Convergence absolue ⇒ convergence.
Après la lecture
L'intégrale de Riemann
∫1+∞tαdt converge si et seulement si :
Pour
α=1 :
∫1At−αdt=1−αA1−α−1, qui converge ssi
1−α<0, i.e.
α>1. Pour
α=1 :
∫1Adt/t=lnA→+∞. Ce sont les intégrales de Riemann de référence en
+∞.
Après la lecture
L'intégrale
∫01tαdt (Riemann en
0) converge si et seulement si :
En
0+,
∫ε1t−αdt=1−α1−ε1−α pour
α=1, qui converge ssi
1−α>0, i.e.
α<1. Pour
α=1 :
−lnε→+∞. Attention : c'est l'inverse de la condition en
+∞.
