Intégrales impropres

Définition

Définition. Soit $f : [a, b[ \to \mathbb{R}$ continue (ou $b = +\infty$). L'intégrale impropre $\int_a^b f(t) \, dt$ est définie comme :

$$\int_a^b f(t) \, dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t) \, dt$$

si cette limite existe et est finie. On dit alors que l'intégrale converge.

Types de singularités

Borne infinie : $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$

Singularité en un point : $\int_a^b f(t) \, dt$ ou $f$ n'est pas bornée au voisinage de $b$

On peut combiner les deux en decoupant l'intégrale.

Intégrales de reference

Intégrales de Riemann

Intégrales exponentielles

Convergence absolue

Définition. L'intégrale $\int_a^b f(t) \, dt$ est absolument convergente si $\int_a^b |f(t)| \, dt$ converge.

Théorème. Convergence absolue $\Rightarrow$ convergence.