Dérivation et théorèmes fondamentaux

Définition

Définition. $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Théorème de Rolle

Théorème. Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et $f(a) = f(b)$, alors :

$$\exists c \in ]a,b[, \quad f'(c) = 0$$

Théorème des accroissements finis (TAF)

Théorème. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, alors :

$$\exists c \in ]a,b[, \quad f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$$

Corollaire : Si $f'(x) \geq 0$ sur $]a,b[$, alors $f$ est croissante sur $[a,b]$.

Inégalité des accroissements finis

Si $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in ]a,b[$, alors :

$$|f(b) - f(a)| \leq M|b-a|$$

Formule de Taylor-Young

Théorème. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$ :

$$f(a+h) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} h^k + o(h^n)$$

Développements limites classiques

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$
• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)$