Formules de Taylor et applications

Formule de Taylor avec reste integral

Théorème. Si $f \in \mathcal{C}^{n+1}([a,b])$ :

$$f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,dt$$

Le reste integral donne une expression exacte du reste.

Formule de Taylor-Lagrange

Théorème. Si $f \in \mathcal{C}^{n+1}([a,b])$, il existe $c \in ]a,b[$ tel que :