Théorème. Si f:[a,b]→R est continue et f(a)⋅f(b)<0, alors il existe c∈]a,b[ tel que f(c)=0.
Application : Ce théorème permet de montrer l'existence de solutions d'équations.
Pause : vérifie
Soit f:[a,b]→R continue avec f(a)⋅f(b)<0. La conclusion du théorème des valeurs intermédiaires est :
Un changement de signe aux bornes force au moins un zéro à l'intérieur : c'est une existence, jamais une unicité (sin s'annule trois fois sur [−1,7]). « Bornée et atteint ses bornes » est la conclusion du théorème de Weierstrass, et f(a)⋅f(b)<0 interdit précisément que f s'annule aux bornes.
Théorème de Weierstrass
Théorème. Toute fonction un segment [a,b] est et atteint ses bornes : il existe xm,xM∈[a,b] tels que f(xm)≤f(x)≤f(xM) pour tout x.
Définition.f est sur I si :
∀ε>0,∃δ>0,∀x,y∈I,∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ε
. Toute fonction un segment est .
Après la lecture
Le théorème de Weierstrass affirme que toute fonction continue sur un segment :
Le théorème de Weierstrass : si f est continue sur le segment [a,b], alors f est bornée et atteint ses bornes, c'est-à-dire ∃xm,xM∈[a,b] tels que f(xm)=inff et f(xM)=supf.
Après la lecture
Soit f:I→R et a∈I. On dit que f est continue en a si et seulement si :
La continuité en a demande que la limite existe et vaille f(a). Une limite épointée (pour x=a) qui existe sans valoir f(a) donne une discontinuité effaçable ; la dérivabilité est plus forte (∣x∣ est continue en 0 sans y être dérivable) ; être bornée au voisinage de a ne dit rien de la limite.
Illustrations
Une fonction continue sur ℝ : courbe sans « saut »
