Continuité des fonctions

Définition

Définition. Soit $f: I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Équivalemment : $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in I, |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \varepsilon$

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Théorème. Si $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est continue et $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

Application : Ce théorème permet de montrer l'existence de solutions d'équations.

Théorème de Weierstrass

Théorème. Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_m, x_M \in [a,b]$ tels que $f(x_m) \leq f(x) \leq f(x_M)$ pour tout $x$.

Continuité uniforme

Définition. $f$ est uniformément continue sur $I$ si :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in I, |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon$$

Théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.