Différentiabilité

Dérivées partielles

Définition. Soit $f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. La dérivée partielle par rapport a $x_i$ en $a$ est :

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h e_i) - f(a)}{h}$$

Différentielle

Définition. $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle que :

$$f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)$$

$L$ est la différentielle de $f$ en $a$, notée $df_a$ ou $Df(a)$.

Théorème. Si $f$ est différentiable en $a$, alors $f$ admet des dérivées partielles en $a$ et :

$$df_a(h) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot h_i = \nabla f(a) \cdot h$$

Attention. L'existence des dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité.

Matrice jacobienne

Pour $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$, $f = (f_1, \ldots, f_p)$ :

Condition suffisante de différentiabilité

Théorème. Si les dérivées partielles de $f$ existent au voisinage de $a$ et sont continues en $a$, alors $f$ est différentiable en $a$. On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$.