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Cours Algèbre Espaces vectorielsEspaces vectoriels : définitions

Espaces vectoriels : définitions

Facile 25 minGratuit

Vidéo du chapitre · Espaces vectoriels

Espaces vectoriels — Introduction

Définition, sous-espaces, familles libres et génératrices.

4:00YouTube

Vidéo chargée depuis YouTube au clic : aucun cookie tiers n’est déposé avant.

Avant de lire

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

F \subset E

F

est un sous-espace vectoriel de

E

si et seulement si :

Avant de lire

Une famille

(e_1, \ldots, e_n)

de vecteurs de

E

est libre si :

Définition

Définition. Un sur un $\mathbb{K}$ (ou $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est un ensemble $E$ muni de :
- Une loi interne $+: E \times E \to E$
- Une loi externe $\cdot: \mathbb{K} \times E \to E$
vérifiant les 8 axiomes (associativite, commutativite, élément neutre, etc.)

Pause : vérifie

Un espace vectoriel sur un corps

\mathbb{K}

est un ensemble

E

muni de :

Exemples fondamentaux

\mathbb{R}^n

avec les opérations composante par composante

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})

: matrices

n \times p

\mathbb{R}[X]

: polynômes a coefficients réels

\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})

: fonctions continues

Sous-espaces vectoriels

Définition. $F \subset E$ est un (sev) de $E$ si :
1. $0_E \in F$
2. $\forall x, y \in F, \quad x + y \in F$
3. $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in F, \quad \lambda x \in F$

En pratique (critère simplifie) : $F$ est un sev si et seulement si $F \neq \emptyset$ et :

\forall x, y \in F, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \quad \lambda x + \mu y \in F

, ,

Définition. Une famille $(e_1, \ldots, e_n)$ est :
- Libre si $\sum \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$
- Génératrice si $\text{Vect}(e_1, \ldots, e_n) = E$
- Base si elle est libre et génératrice
Théorème. $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ et la base canonique est $(e_1, \ldots, e_n)$ .

Après la lecture

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

F \subset E

F

est un sous-espace vectoriel de

E

si et seulement si :

Après la lecture

Une famille

(e_1, \ldots, e_n)

de vecteurs de

E

est libre si :

Illustrations

Espace vectoriel : addition et multiplication par un scalaire

Cours Algèbre Espaces vectorielsEspaces vectoriels : définitions

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Vidéo du chapitre · Espaces vectoriels

Espaces vectoriels — Introduction

Définition, sous-espaces, familles libres et génératrices.

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Avant de lire

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

F \subset E

F

est un sous-espace vectoriel de

E

si et seulement si :

Avant de lire

Une famille

(e_1, \ldots, e_n)

de vecteurs de

E

est libre si :

Définition

Définition. Un sur un $\mathbb{K}$ (ou $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est un ensemble $E$ muni de :
- Une loi interne $+: E \times E \to E$
- Une loi externe $\cdot: \mathbb{K} \times E \to E$
vérifiant les 8 axiomes (associativite, commutativite, élément neutre, etc.)

Pause : vérifie

Un espace vectoriel sur un corps

\mathbb{K}

est un ensemble

E

muni de :

Exemples fondamentaux

\mathbb{R}^n

avec les opérations composante par composante

\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})

: matrices

n \times p

\mathbb{R}[X]

: polynômes a coefficients réels

\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})

: fonctions continues

Sous-espaces vectoriels

Définition. $F \subset E$ est un (sev) de $E$ si :
1. $0_E \in F$
2. $\forall x, y \in F, \quad x + y \in F$
3. $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in F, \quad \lambda x \in F$

En pratique (critère simplifie) : $F$ est un sev si et seulement si $F \neq \emptyset$ et :

\forall x, y \in F, \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \quad \lambda x + \mu y \in F

, ,

Définition. Une famille $(e_1, \ldots, e_n)$ est :
- Libre si $\sum \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$
- Génératrice si $\text{Vect}(e_1, \ldots, e_n) = E$
- Base si elle est libre et génératrice
Théorème. $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ et la base canonique est $(e_1, \ldots, e_n)$ .

Après la lecture

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel et

F \subset E

F

est un sous-espace vectoriel de

E

si et seulement si :

Après la lecture

Une famille

(e_1, \ldots, e_n)

de vecteurs de

E

est libre si :

Illustrations

Espace vectoriel : addition et multiplication par un scalaire

Espaces vectoriels : définitions

Espaces vectoriels — Introduction

Définition

Exemples fondamentaux

Sous-espaces vectoriels

Famille libre, génératrice, base

Illustrations

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Définition

Exemples fondamentaux

Sous-espaces vectoriels

Famille libre, génératrice, base

Illustrations

, ,

, ,