Espaces vectoriels : définitions

Définition

Définition. Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (ou $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ muni de :

- Une loi interne $+: E \times E \to E$

- Une loi externe $\cdot: \mathbb{K} \times E \to E$

vérifiant les 8 axiomes (associativite, commutativite, élément neutre, etc.)

Exemples fondamentaux

$\mathbb{R}^n$ avec les opérations composante par composante

$\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ : matrices $n \times p$

$\mathbb{R}[X]$ : polynômes a coefficients réels

$\mathcal{C}^0([a,b], \mathbb{R})$ : fonctions continues

Sous-espaces vectoriels

Définition. $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel (sev) de $E$ si :

1. $0_E \in F$

2. $\forall x, y \in F, \quad x + y \in F$

3. $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in F, \quad \lambda x \in F$

En pratique (critère simplifie) : $F$ est un sev si et seulement si $F \neq \emptyset$ et :

Famille libre, génératrice, base

Définition. Une famille $(e_1, \ldots, e_n)$ est :

- Libre si $\sum \lambda_i e_i = 0 \implies \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$

- Génératrice si $\text{Vect}(e_1, \ldots, e_n) = E$

- Base si elle est libre et génératrice

Théorème. $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ et la base canonique est $(e_1, \ldots, e_n)$.