Oral : Théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension finie

Théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension finie

X-ENSTres difficileCompacité30 min

Consignes de l'examinateur

L'examinateur attend une démonstration parfaite de BW par dichotomie. La question 3 est fondamentale : il faut comprendre pourquoi la compacité est spécifique à la dimension finie. C'est un exercice de culture topologique.

Énoncé

Énoncer et démontrer le dans

\mathbb{R}

: toute admet une sous-suite convergente.

En déduire le résultat dans

\mathbb{R}^n

Montrer que dans un de dimension infinie, la boule unité fermée n'est pas compacte (indication : construire une suite sans sous-suite convergente dans

\ell^\infty

Montrer que les compacts de

\mathbb{R}^n

sont exactement les fermés bornés.

Indices

0/3 révélé

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