Théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension finie
Théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension finie
X-ENSTres difficileCompacité30 min
Consignes de l'examinateur
L'examinateur attend une démonstration parfaite de BW par dichotomie. La question 3 est fondamentale : il faut comprendre pourquoi la compacité est spécifique à la dimension finie. C'est un exercice de culture topologique.
Énoncé
Énoncer et démontrer le dans R : toute admet une sous-suite convergente.
En déduire le résultat dans Rn.
Montrer que dans un de dimension infinie, la boule unité fermée n'est pas compacte (indication : construire une suite sans sous-suite convergente dans ℓ∞).
Montrer que les compacts de Rn sont exactement les fermés bornés.