Oral : Théorème de Dini et convergence uniforme

Théorème de Dini et convergence uniforme

X-ENSTres difficileSuites et séries de fonctions30 min

Consignes de l'examinateur

La preuve de Dini est un incontournable. L'examinateur vérifie la maîtrise de l'argument de compacité (recouvrement ouvert, extraction finie). Les contre-exemples doivent être précis avec justification.

Énoncé

Soit

(f_n)

une suite de fonctions continues sur un segment

[a,b]

, convergeant simplement vers une fonction continue

f

(f_n)

est décroissante (i.e.

f_{n+1}(x) \leq f_n(x)

pour tout

x

), montrer que la convergence est uniforme (théorème de Dini).

Donner un contre-exemple si

[a,b]

est remplacé par

]a,b[

Donner un contre-exemple si on retire l'hypothèse de monotonie.

Application : montrer que

\sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}

converge uniformément vers

-\ln(1-x)

sur

[0, r]

pour tout

r < 1

, mais pas sur

[0, 1[

Indices

0/3 révélé

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