Soit
(fn) une suite de fonctions continues sur un segment
[a,b], convergeant simplement vers une fonction continue
f.
Si (fn) est décroissante (i.e. fn+1(x)≤fn(x) pour tout x), montrer que la convergence est uniforme (théorème de Dini).Donner un contre-exemple si [a,b] est remplacé par ]a,b[.Donner un contre-exemple si on retire l'hypothèse de monotonie.Application : montrer que ∑k=1nkxk converge uniformément vers −ln(1−x) sur [0,r] pour tout r<1, mais pas sur [0,1[.