Oral : Groupe symétrique et signature

Groupe symétrique et signature

X-ENSTres difficileStructures algébriques30 min

Consignes de l'examinateur

L'examinateur attend la définition formelle de la signature comme morphisme, pas juste 'parité du nombre de transpositions'. La question 4 est un classique X où il faut distinguer les cas (transpositions à support commun ou disjoint).

Énoncé

Montrer que toute permutation

\sigma \in S_n

s'écrit comme produit de transpositions.

Montrer que la signature

\varepsilon : S_n \to \{-1,1\}

définie par

\varepsilon(\sigma) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j-i}

est un morphisme de groupes.

Montrer que

A_n = \ker(\varepsilon)

est un sous-groupe d'indice 2 de

S_n

Montrer que pour

n \geq 3

A_n

est engendré par les 3-cycles.

Indices

0/3 révélé

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