L'examinateur attend la définition formelle de la signature comme morphisme, pas juste 'parité du nombre de transpositions'. La question 4 est un classique X où il faut distinguer les cas (transpositions à support commun ou disjoint).
Énoncé
Montrer que toute permutation σ∈Sn s'écrit comme produit de transpositions.
Montrer que la signature ε:Sn→{−1,1} définie par ε(σ)=∏1≤i<j≤nj−iσ(j)−σ(i) est un morphisme de groupes.
Montrer que An=ker(ε) est un sous-groupe d'indice 2 de Sn.
Montrer que pour n≥3, An est engendré par les 3-cycles.