X-ENSTres difficileEspaces euclidiens et préhilbertiens30 min
Consignes de l'examinateur
Exercice classique des oraux X/ENS. L'examinateur attend une preuve complète de l'unicité (argument de codiagonalisation). La décomposition polaire est un résultat fondamental qu'il faut maîtriser.
Énoncé
Soit S∈Sn++(R) ( définie positive).
Montrer qu'il existe une unique T∈Sn++(R) telle que T2=S. On note T=S1/2.
Montrer que l'application S↦S1/2 est Sn++(R).
Soit A∈GLn(R). Montrer que A s'écrit de façon unique A=OP avec O∈On(R) et P∈Sn++(R) (décomposition polaire).