Oral : Matrices symétriques positives et racine carrée

Matrices symétriques positives et racine carrée

X-ENSTres difficileEspaces euclidiens et préhilbertiens30 min

Consignes de l'examinateur

Exercice classique des oraux X/ENS. L'examinateur attend une preuve complète de l'unicité (argument de codiagonalisation). La décomposition polaire est un résultat fondamental qu'il faut maîtriser.

Énoncé

Soit

S \in S_n^{++}(\mathbb{R})

( définie positive).

Montrer qu'il existe une unique

T \in S_n^{++}(\mathbb{R})

telle que

T^2 = S

. On note

T = S^{1/2}

Montrer que l'application

S \mapsto S^{1/2}

est

S_n^{++}(\mathbb{R})

Soit

A \in GL_n(\mathbb{R})

. Montrer que

A

s'écrit de façon unique

A = OP

avec

O \in O_n(\mathbb{R})

P \in S_n^{++}(\mathbb{R})

(décomposition polaire).

Indices

0/3 révélé

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Oraux

Matrices symétriques positives et racine carrée

X-ENSTres difficileEspaces euclidiens et préhilbertiens30 min

Consignes de l'examinateur

Énoncé

Soit

S \in S_n^{++}(\mathbb{R})

( définie positive).

Montrer qu'il existe une unique

T \in S_n^{++}(\mathbb{R})

telle que

T^2 = S

. On note

T = S^{1/2}

Montrer que l'application

S \mapsto S^{1/2}

est

S_n^{++}(\mathbb{R})

Soit

A \in GL_n(\mathbb{R})

. Montrer que

A

s'écrit de façon unique

A = OP

avec

O \in O_n(\mathbb{R})

P \in S_n^{++}(\mathbb{R})

(décomposition polaire).

Indices

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