Oral : Endomorphismes nilpotents et exponentielle

Endomorphismes nilpotents et exponentielle

X-ENSTres difficileRéduction des endomorphismes30 min

Consignes de l'examinateur

Exercice typique X : mélange algèbre linéaire et analyse. L'examinateur attend de la rigueur sur la commutativité des puissances et la justification de l'inversibilité. La question 4 teste la culture.

Énoncé

Soit

E

\mathbb{K}

-espace vectoriel de dimension finie

n

N \in \mathcal{L}(E)

nilpotent d'indice

p

Montrer que

\exp(N) = \sum_{k=0}^{p-1} \frac{N^k}{k!}

est un automorphisme de

E

. Calculer son inverse.

Montrer que

\exp(N) - \mathrm{Id}

est nilpotent. Quel est son indice de nilpotence ?

Soit

A \in M_n(\mathbb{R})

telle que

\exp(A) = I_n

. Montrer que si

A

est diagonalisable sur

\mathbb{C}

, ses valeurs propres sont dans

2i\pi\mathbb{Z}

Donner un exemple de matrice

A

non nulle avec

\exp(A) = I_n

Indices

0/3 révélé

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