L'examinateur attend une parfaite distinction entre connexité et connexité par arcs. La question 3 (ouvert connexe = connexe par arcs) est un résultat fondamental. Le contre-exemple (4) est un classique de topologie.
Énoncé
Montrer que l'image continue d'un connexe par arcs est connexe par arcs.
Soit f:R→R continue et A={(x,f(x)):x∈R} le graphe de f. Montrer que A est connexe par arcs.
Soit U un ouvert connexe de Rn. Montrer que U est connexe par arcs.
Donner un exemple d'un sous-ensemble connexe de R2 qui n'est pas connexe par arcs.