Oral : Connexité et applications continues

Connexité et applications continues

X-ENSTres difficileConnexité30 min

Consignes de l'examinateur

L'examinateur attend une parfaite distinction entre connexité et connexité par arcs. La question 3 (ouvert connexe = connexe par arcs) est un résultat fondamental. Le contre-exemple (4) est un classique de topologie.

Énoncé

Montrer que l'image continue d'un connexe par arcs est connexe par arcs.

Soit

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

continue et

A = \{(x, f(x)) : x \in \mathbb{R}\}

le graphe de

f

. Montrer que

A

est connexe par arcs.

Soit

U

un ouvert connexe de

\mathbb{R}^n

. Montrer que

U

est connexe par arcs.

Donner un exemple d'un sous-ensemble connexe de

\mathbb{R}^2

qui n'est pas connexe par arcs.

Indices

0/3 révélé

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Consignes de l'examinateur

Énoncé

Montrer que l'image continue d'un connexe par arcs est connexe par arcs.

Soit

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

continue et

A = \{(x, f(x)) : x \in \mathbb{R}\}

le graphe de

f

. Montrer que

A

est connexe par arcs.

Soit

U

un ouvert connexe de

\mathbb{R}^n

. Montrer que

U

est connexe par arcs.

Donner un exemple d'un sous-ensemble connexe de

\mathbb{R}^2

qui n'est pas connexe par arcs.

Indices

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