OrauxFonctions génératrices et loi de Poisson

Fonctions génératrices et loi de Poisson

Soit

X

une v.a. discrète à valeurs dans

\mathbb{N}

. On pose

G_X(s) = E[s^X] = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X=n) s^n

Montrer que

G_X

est définie et

C^\infty

sur

]-1,1[

, et que

P(X=n) = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!}

Soit

X \sim \mathcal{P}(\lambda)

. Calculer

G_X(s)

et en déduire

E[X]

\mathrm{Var}(X)

X_1, \ldots, X_n

sont avec

X_i \sim \mathcal{P}(\lambda_i)

, montrer que

S = X_1 + \cdots + X_n \sim \mathcal{P}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)

Montrer le théorème de : si

X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)

avec

\lambda > 0

fixé, alors

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

La solution est réservée aux abonnés

Seul le premier oral de chaque planche est gratuit. La solution et les attendus de l'examinateur sont réservés aux abonnés.

Fonctions génératrices et loi de Poisson

Soit

X

une v.a. discrète à valeurs dans

\mathbb{N}

. On pose

G_X(s) = E[s^X] = \sum_{n=0}^{+\infty} P(X=n) s^n

Montrer que

G_X

est définie et

C^\infty

sur

]-1,1[

, et que

P(X=n) = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!}

Soit

X \sim \mathcal{P}(\lambda)

. Calculer

G_X(s)

et en déduire

E[X]

\mathrm{Var}(X)

X_1, \ldots, X_n

sont avec

X_i \sim \mathcal{P}(\lambda_i)

, montrer que

S = X_1 + \cdots + X_n \sim \mathcal{P}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)

Montrer le théorème de : si

X_n \sim \mathcal{B}(n, \lambda/n)

avec

\lambda > 0

fixé, alors

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{P}(\lambda)

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