Soit
(E,d) un espace métrique complet et
f:E→E une contraction (
∃k∈[0,1[,∀x,y,d(f(x),f(y))≤kd(x,y)).
Montrer que f admet un unique point fixe ℓ, et que pour tout x0∈E, fn(x0)→ℓ (théorème de Banach).Donner une estimation de la vitesse de convergence.Application : montrer que l'équation cos(x)=x a une unique solution dans [0,1]. Estimer le nombre d'itérations nécessaires pour une précision de 10−6.Que se passe-t-il si on remplace k<1 par d(f(x),f(y))<d(x,y) pour x=y ?