Oral : Exponentielle de matrices et systèmes différentiels

Exponentielle de matrices et systèmes différentiels

X-ENSTres difficileÉquations différentielles30 min

Consignes de l'examinateur

Exercice fondamental des oraux X. L'examinateur attend : convergence de la série dans un espace de Banach, lien avec Cauchy-Lipschitz, calculs explicites rapides. La formule

\det(e^A) = e^{\mathrm{tr}(A)}

est incontournable.

Énoncé

Soit

A \in M_n(\mathbb{R})

Montrer que la série

\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}

converge dans

M_n(\mathbb{R})

. On note

e^A

sa somme.

Montrer que

t \mapsto e^{tA}

est l'unique solution de

X'(t) = AX(t)

X(0) = I_n

Calculer

e^A

pour

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Montrer que

\det(e^A) = e^{\mathrm{tr}(A)}

Indices

0/3 révélé

Retour aux oraux

Oraux

Exponentielle de matrices et systèmes différentiels

X-ENSTres difficileÉquations différentielles30 min

Consignes de l'examinateur

Exercice fondamental des oraux X. L'examinateur attend : convergence de la série dans un espace de Banach, lien avec Cauchy-Lipschitz, calculs explicites rapides. La formule

\det(e^A) = e^{\mathrm{tr}(A)}

est incontournable.

Énoncé

Soit

A \in M_n(\mathbb{R})

Montrer que la série

\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{k!}

converge dans

M_n(\mathbb{R})

. On note

e^A

sa somme.

Montrer que

t \mapsto e^{tA}

est l'unique solution de

X'(t) = AX(t)

X(0) = I_n

Calculer

e^A

pour

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Montrer que

\det(e^A) = e^{\mathrm{tr}(A)}

Indices

0/3 révélé

Retour aux oraux