Oral : Théorème d'inversion locale

Théorème d'inversion locale

X-ENSTres difficileCalcul différentiel30 min

Consignes de l'examinateur

L'examinateur attend l'énoncé précis du TIL. La question 2 est un classique (application exponentielle complexe). Pour la question 3, l'argument topologique (ouvert-fermé-connexe) est essentiel.

Énoncé

Soit

U

un ouvert de

\mathbb{R}^n

f : U \to \mathbb{R}^n

de classe

C^1

Énoncer le théorème d'inversion locale.

Soit

f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

définie par

f(x,y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)

. Montrer que

f

est un difféomorphisme local en tout point. Est-ce un difféomorphisme global ?

Soit

g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

de classe

C^1

avec

\|g(x) - g(y)\| \geq \alpha \|x-y\|

pour un

\alpha > 0

. Montrer que

g

est un difféomorphisme global.

Indices

0/3 révélé

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Théorème d'inversion locale

X-ENSTres difficileCalcul différentiel30 min

Consignes de l'examinateur

L'examinateur attend l'énoncé précis du TIL. La question 2 est un classique (application exponentielle complexe). Pour la question 3, l'argument topologique (ouvert-fermé-connexe) est essentiel.

Énoncé

Soit

U

un ouvert de

\mathbb{R}^n

f : U \to \mathbb{R}^n

de classe

C^1

Énoncer le théorème d'inversion locale.

Soit

f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

définie par

f(x,y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)

. Montrer que

f

est un difféomorphisme local en tout point. Est-ce un difféomorphisme global ?

Soit

g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

de classe

C^1

avec

\|g(x) - g(y)\| \geq \alpha \|x-y\|

pour un

\alpha > 0

. Montrer que

g

est un difféomorphisme global.

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