X-ENSTres difficileConvergences et théorèmes limites25 min
Consignes de l'examinateur
L'examinateur veut voir le lien entre probabilités et analyse numérique. La question 4 teste la compréhension de l'avantage de Monte-Carlo en grande dimension (fléau de la dimension).
Énoncé
Soit f:[0,1]→R continue. Soient U1,U2,… des v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0,1].
Montrer que n1∑k=1nf(Uk)p.s.∫01f(t)dt (loi forte des grands nombres).
Donner la vitesse de convergence : montrer que Var(n1∑f(Uk))=nσ2 où σ2=Var(f(U1)).
En utilisant l', donner un intervalle de confiance à 95% pour ∫01f(t)dt.
Application : estimer ∫01e−x2dx par cette méthode. Comparer avec la méthode des rectangles.