Oral : Sommation d'Abel et séries divergentes

Sommation d'Abel et séries divergentes

X-ENSTres difficileSéries numériques30 min

Consignes de l'examinateur

L'examinateur attend une démonstration rigoureuse du théorème d'Abel avec contrôle epsilon, puis une discussion fine sur les méthodes de sommation. La culture mathématique (Cesàro, Abel) est valorisée.

Énoncé

Soit

(a_n)

une suite de réels. On pose

S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n

pour

x \in ]-1,1[

Montrer que si

\sum a_n

converge, alors

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n

(théorème d'Abel radial).

La réciproque est-elle vraie ? Donner un contre-exemple.

Soit

a_n = (-1)^n

. Calculer

f(x)

et discuter la sommation d'Abel de

\sum (-1)^n

Indices

0/3 révélé

Retour aux oraux

Oraux

Sommation d'Abel et séries divergentes

X-ENSTres difficileSéries numériques30 min

Consignes de l'examinateur

Énoncé

Soit

(a_n)

une suite de réels. On pose

S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k

f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n

pour

x \in ]-1,1[

Montrer que si

\sum a_n

converge, alors

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n

(théorème d'Abel radial).

La réciproque est-elle vraie ? Donner un contre-exemple.

Soit

a_n = (-1)^n

. Calculer

f(x)

et discuter la sommation d'Abel de

\sum (-1)^n

Indices

0/3 révélé

Retour aux oraux