Oral : Série de Fourier et calcul de sommes

Série de Fourier et calcul de sommes

CENTRALEDifficileSéries de Fourier25 min

Consignes de l'examinateur

Grand classique des oraux Centrale. L'examinateur attend des calculs d'intégrales rapides (IPP) et la déduction immédiate des sommes. La relation $\sum 1/n^2 = 4/3 \sum 1/(2k+1)^2$ doit être connue.

Énoncé

Soit

f(x) = |x|

sur

[-\pi, \pi]

, prolongée par

2\pi

-périodicité.

Calculer la série de Fourier de

f

En déduire

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

Appliquer l'identité de Parseval pour calculer

\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^4}

Indices

0/3 révélé

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