Oral : Somme directe et projecteurs

Somme directe et projecteurs

Soit

E

un et

p, q \in \mathcal{L}(E)

deux projecteurs (

p^2 = p

q^2 = q

Montrer que

E = \ker(p) \oplus \mathrm{Im}(p)

et que

p

est la sur

\mathrm{Im}(p)

parallèlement à

\ker(p)

Montrer que

p + q

est un projecteur si et seulement si

pq = qp = 0

p + q

est un projecteur, montrer que

\mathrm{Im}(p+q) = \mathrm{Im}(p) \oplus \mathrm{Im}(q)

Soit

E

de dimension finie. Exprimer

\mathrm{rg}(p+q)

en fonction de

\mathrm{rg}(p)

\mathrm{rg}(q)

La solution est réservée aux abonnés

Seul le premier oral de chaque planche est gratuit. La solution et les attendus de l'examinateur sont réservés aux abonnés.

Somme directe et projecteurs

Soit

E

un et

p, q \in \mathcal{L}(E)

deux projecteurs (

p^2 = p

q^2 = q

Montrer que

E = \ker(p) \oplus \mathrm{Im}(p)

et que

p

est la sur

\mathrm{Im}(p)

parallèlement à

\ker(p)

Montrer que

p + q

est un projecteur si et seulement si

pq = qp = 0

p + q

est un projecteur, montrer que

\mathrm{Im}(p+q) = \mathrm{Im}(p) \oplus \mathrm{Im}(q)

Soit

E

de dimension finie. Exprimer

\mathrm{rg}(p+q)

en fonction de

\mathrm{rg}(p)

\mathrm{rg}(q)

Seul le premier oral de chaque planche est gratuit. La solution et les attendus de l'examinateur sont réservés aux abonnés.