Oral : Intégrales dépendant d'un paramètre

Intégrales dépendant d'un paramètre

CENTRALEDifficileIntégration25 min

Consignes de l'examinateur

Exercice typique Centrale : calcul rigoureux d'intégrales à paramètrès. L'examinateur vérifie la maîtrise de la domination et des théorèmes d'interversion. La question 4 est l'astuce élégante.

Énoncé

On pose

F(\alpha) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha t}}{1 + t^2}\,dt

pour

\alpha > 0

Montrer que

F

est bien définie et

]0, +\infty[

Montrer que

F

est de classe

C^1

sur

]0, +\infty[

et calculer

F'(\alpha)

Montrer que

\lim_{\alpha \to +\infty} F(\alpha) = 0

\lim_{\alpha \to 0^+} F(\alpha) = \frac{\pi}{2}

Montrer que

F(\alpha) + F''(\alpha) = \frac{1}{\alpha}

pour tout

\alpha > 0

Indices

0/3 révélé

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Oraux

Intégrales dépendant d'un paramètre

CENTRALEDifficileIntégration25 min

Consignes de l'examinateur

Énoncé

On pose

F(\alpha) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha t}}{1 + t^2}\,dt

pour

\alpha > 0

Montrer que

F

est bien définie et

]0, +\infty[

Montrer que

F

est de classe

C^1

sur

]0, +\infty[

et calculer

F'(\alpha)

Montrer que

\lim_{\alpha \to +\infty} F(\alpha) = 0

\lim_{\alpha \to 0^+} F(\alpha) = \frac{\pi}{2}

Montrer que

F(\alpha) + F''(\alpha) = \frac{1}{\alpha}

pour tout

\alpha > 0

Indices

0/3 révélé

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