Oral : Déterminant de Vandermonde

Déterminant de Vandermonde

CENTRALEDifficileMatrices25 min

Consignes de l'examinateur

Grand classique Centrale. L'examinateur attend le calcul complet par récurrence avec les opérations élémentaires. L'application à l'interpolation doit être immédiate.

Énoncé

Soit

a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}

Calculer le déterminant de Vandermonde

V(a_1, \ldots, a_n) = \det\begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{pmatrix}

En déduire que la matrice est si et seulement si les

a_i

sont deux à deux distincts.

Application : montrer qu'il existe un unique polynôme de degré

\leq n-1

passant par

n

points

(a_i, b_i)

d'abscisses distinctes.

Indices

0/3 révélé

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