Oral : Loi du max et du min de variables aléatoires

Loi du max et du min de variables aléatoires

CENTRALEDifficileCouples et vecteurs aléatoires25 min

Consignes de l'examinateur

Exercice classique des oraux Centrale mêlant probabilités et calcul. L'examinateur attend des calculs propres et la convergence en loi avec justification par convergence de la fonction de répartition.

Énoncé

Soient

X_1, \ldots, X_n

des v.a. de même loi uniforme sur

[0,1]

. On pose

M_n = \max(X_1, \ldots, X_n)

m_n = \min(X_1, \ldots, X_n)

Déterminer la fonction de répartition et la densité de

M_n

Calculer

E[M_n]

\mathrm{Var}(M_n)

Même questions pour

m_n

Montrer que

n(1 - M_n) \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{E}(1)

(loi exponentielle de paramètre 1).

Indices

0/3 révélé

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