Oral : Suite récurrente et point fixe

Suite récurrente et point fixe

CENTRALEDifficileSuites numériques25 min

Consignes de l'examinateur

Exercice Centrale typique : théorie (point fixe) puis application calculatoire. L'examinateur attend la vérification rigoureuse des hypothèses avant d'appliquer le résultat abstrait.

Énoncé

Soit

f : [0,1] \to [0,1]

de classe

C^1

avec

|f'(x)| \leq k < 1

pour tout

x \in [0,1]

Montrer que

f

admet un unique point fixe

\ell \in [0,1]

Montrer que pour tout

u_0 \in [0,1]

, la suite

u_{n+1} = f(u_n)

converge vers

\ell

Application : montrer que la suite définie par

u_0 = 0

u_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n^2 + 1)

converge et calculer sa .

Indices

0/3 révélé

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