Exercice Centrale typique : théorie (point fixe) puis application calculatoire. L'examinateur attend la vérification rigoureuse des hypothèses avant d'appliquer le résultat abstrait.
Énoncé
Soit f:[0,1]→[0,1] de classe C1 avec ∣f′(x)∣≤k<1 pour tout x∈[0,1].
Montrer que f admet un unique point fixe ℓ∈[0,1].
Montrer que pour tout u0∈[0,1], la suite un+1=f(un) converge vers ℓ.
Application : montrer que la suite définie par u0=0 et un+1=31(un2+1) converge et calculer sa .