Liens analyse-algèbre : exponentielle de matrices, séries de matrices
Cochez les théorèmes que vous maîtrisez
0/12 maîtrisé
Théorème de Bolzano-Weierstrass et ses conséquences
Théorème du point fixe de Banach (contraction)
Théorème spectral pour les endomorphismes symétriques
Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme minimal
Théorème d'Abel radial pour les séries entières
Théorème de convergence dominée (Lebesgue)
Formule de Stirling et intégrales de Wallis
Théorème d'inversion locale et des fonctions implicites
Identité de Parseval pour les séries de Fourier
Loi forte des grands nombres
Décomposition polaire des matrices inversibles
Théorème de Dini (convergence uniforme monotone)
Confondre convergence simple et uniforme pour les suites de fonctions
Oublier de vérifier les hypothèses de domination avant d'intervertir limite et intégrale
Appliquer Cayley-Hamilton sans vérifier que le polynôme est bien le caractéristique (pas le minimal)
Confondre connexité et connexité par arcs (le topologiste sine curve !)
Oublier que la réciproque du théorème d'Abel est fausse
Négliger la condition de commutativité pour l'exponentielle : eA+B=eAeB en général
Confondre diagonalisable sur R et sur C
Maîtriser parfaitement les démonstrations des théorèmes fondamentaux (BW, Dini, point fixe, spectral)
S'entraîner aux exercices très abstraits avec peu de calcul mais beaucoup de raisonnement
Connaître les contre-exemples classiques de topologie et d'analyse fonctionnelle
Préparer les liens entre les domaines : analyse-algèbre, probabilités-analyse
Savoir rédiger une preuve complète en temps limité, sans étapes manquantes
Travailler la culture mathématique : résultats hors programme utiles, histoire des théorèmes
Ne pas hésiter à demander des précisions à l'examinateur si l'énoncé est ambigu
Garder du temps pour relire et vérifier les cas particuliers
#1
Un problème d'analyse fonctionnelle mélangeant séries de Fourier, intégrales et convergence uniforme, avec une partie algèbre (exponentielle de matrices ou réduction).
#2
Un sujet d'algèbre pure : étude d'un groupe ou d'un anneau, avec application à la réduction d'endomorphismes et calcul de puissances de matrices.
#3
Un problème de topologie/analyse : étude d'un espace de fonctions (compacité, complétude), théorème du point fixe appliqué à une équation intégrale.
#4
Un sujet mêlant probabilités et analyse : loi des grands nombres, méthode de Monte-Carlo, convergence de suites aléatoires.
#5
Un problème de calcul différentiel : étude d'une application de Rn dans Rn, difféomorphismes, variétés implicites.